8633. Угол между прямыми, каждая из которых содержит по одной образующей конуса, равен 45^{\circ}
. Прямая, перпендикулярная обеим эти образующим, пересекает плоскость основания конуса под углом \frac{\pi}{8}
. Найдите угол боковой развёртки конуса, если он больше 270^{\circ}
.
Ответ. \pi\sqrt{\frac{7}{2}}
.
Указание. Угол между прямыми — это угловая мера наименьшего из углов, образованных пересечением этих прямых.
Решение. Пусть A
— вершина конуса, AB
и AC
— образующие конуса, о которых говорится в условии задачи, AO
— высота конуса, M
— середина хорды BC
основания конуса, D
— точка, в которой прямая, проходящая через точку A
, пересекает плоскость основания конуса (можно считать, что прямая, о которой говорится в условии задачи, проходит через точку A
). Обозначим AB=AC=l
, OB=OC=r
, AO=h
.
Прямая AD
перпендикулярна плоскости ABC
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB
и AC
этой плоскости. Значит, AD\perp BC
и AD\perp AM
. Поскольку DO
— ортогональная проекция прямой AD
на плоскость основания конуса, DO\perp BC
по теореме о трёх перпендикулярах, а так как OM\perp BC
, то точки D
, O
и M
лежат на одной прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник MAD
. В нём известно, что AO
— высота, проведённая из вершины прямого угла,
\angle OAM=\angle ADM=\frac{\pi}{8},~AO=h,~AM=\frac{AO}{\cos OAM}=\frac{h}{\cos\frac{\pi}{8}}.
Предположим, что \angle BAC=\frac{\pi}{4}
. Из равнобедренного треугольника ABC
находим, что
AM=AB\cdot\cos\angle BAM=l\cos\frac{\pi}{8}.
Из равенства \frac{h}{\cos\frac{\pi}{8}}=l\cos\frac{\pi}{8}
находим, что
\frac{h}{l}=\cos^{2}\frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
r=OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\sqrt{l^{2}-h^{2}}.
Пусть \gamma
— искомый угол в развёртке боковой поверхности конуса. Тогда
\gamma=\frac{2\pi r}{2\pi l}\cdot2\pi=\frac{r}{l}\cdot2\pi=\frac{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}{l}\cdot2\pi=\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}\cdot2\pi=
=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)^{2}}\cdot2\pi=\pi\sqrt{\frac{5-2\sqrt{2}}{2}}\lt\frac{3}{2}\pi,
так как \frac{5-2\sqrt{2}}{2}\lt\frac{9}{4}
.
Пусть теперь \angle BAC=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi
. Тогда аналогично предыдущему получим, что
AM=AB\cdot\cos\angle BAM=l\cos\frac{3\pi}{8}.
Из равенства \frac{h}{\cos\frac{\pi}{8}}=l\cos\frac{3\pi}{8}
находим, что
\frac{h}{l}=\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4},
\gamma=\frac{2\pi r}{2\pi l}\cdot2\pi=\frac{r}{l}\cdot2\pi=\frac{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}{l}\cdot2\pi=\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^{2}}\cdot2\pi=
=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}\cdot2\pi=2\pi\sqrt{1-\frac{1}{8}}=\pi\sqrt{\frac{7}{2}}\gt\frac{3}{2}\pi.