8635. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке O
. Из точки A
, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках B_{1}
и C_{1}
, второй — в точках B_{2}
и C_{2}
, третий — в точках B_{3}
и C_{3}
, четвёртый — в точках B_{4}
и C_{4}
. Прямые B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются в точке E
, прямые B_{3}B_{4}
и C_{3}C_{4}
— в точке F
. Найдите объём пирамиды OAEF
, если AO=2
, EO=FO=3
, а угол между гранями AOE
и AOF
равен 30^{\circ}
.
Ответ. \frac{35}{24}
.
Решение. Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через пересекающиеся прямые B_{1}C_{1}
и B_{2}C_{2}
(рис. 2). Получим вписанный четырёхугольник B_{1}B_{2}C_{2}C_{1}
. Опишем окружности около треугольников AB_{1}B_{2}
и EC_{2}B_{2}
. Пусть M
— вторая точка пересечения этих окружностей. Докажем, что точка M
лежит на отрезке AE
.
Обозначим, \angle EMB_{2}=\alpha
. Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны 180^{\circ}
, поэтому
\angle C_{1}C_{2}B_{2}=180^{\circ}-\angle EC_{2}B_{2}=\alpha,
\angle AB_{1}B_{2}=180^{\circ}-\angle C_{1}B_{1}B_{2}=\alpha,
\angle AMB_{2}=180^{\circ}-\angle AB_{1}B_{2}=180^{\circ}-\alpha.
Значит, \angle EMB_{2}+\angle AMB_{2}=180^{\circ}
. Следовательно, точка M
лежит на отрезке AE
. При этом AE\cdot AM=AC_{2}\cdot AB_{2}
, так как если из точки, расположенной вне окружности, проведены к этой окружности секущие, то произведение всей секущей на её внешнюю часть постоянно.
Пусть R
— радиус сферы. Рассмотрим также сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O
и прямую B_{2}C_{2}
. Пусть луч AO
пересекает сферу в точках P
и Q
(рис. 3). Тогда
AE\cdot AM=AC_{2}\cdot AB_{2}=AQ\cdot AP=(AO+R)(AO-R)=AO^{2}-R^{2}=4-1=3.
Аналогично,
AE\cdot EM=EB_{2}\cdot EB_{1}=(EO+R)(EO-R)=EO^{2}-R^{2}=8.
Тогда
AE^{2}=AE(AM+EM)=AE\cdot AM+AE\cdot EM=3+8=11.
Аналогично получим, что AF^{2}=11
. По формуле Герона
S_{\triangle AOE}=S_{\triangle AOF}=\frac{1}{4}\sqrt{(2+3+\sqrt{11})(2+3-\sqrt{11})(2+\sqrt{11}-3)(3+\sqrt{11}-2)}=
=\frac{1}{4}\sqrt{(25-11)(11-1)}=\frac{\sqrt{140}}{4}.
Если S_{1}
и S_{2}
— площади граней тетраэдра, \varphi
— угол между этими гранями, а a
— их общее ребро, то объём V
тетраэдра можно вычислить по формуле V=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{1}\cdot S_{2}\sin\varphi}{a}
(рис. 4). Следовательно,
V_{OAEF}=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\triangle AOE}\cdot S_{\triangle AOF}\sin30^{\circ}}{AO}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\frac{\sqrt{140}}{4}\cdot\frac{\sqrt{140}}{4}}{2\cdot2}=\frac{140}{3\cdot32}=\frac{35}{24}.