8637. Выпуклый многогранник ABCDFE
имеет пять граней: CDF
, ABE
, BCFE
, ADFE
и ABCD
. Ребро AB
параллельно ребру CD
. Точки K
и L
расположены соответственно на рёбрах AD
и BC
так, что отрезок KL
делит площадь грани ABCD
пополам. Точка M
является серединой ребра EF
и вершиной пирамиды MABCD
, объём которой равен 6. Найдите объём пирамиды EKLF
, если известно, что объём многогранника ABCDFE
равен 19.
Ответ. 13.
Решение. Пусть E_{1}
, M_{1}
и F_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно E
, M
и F
на плоскость параллельных прямых AB
и CD
. Тогда EE_{1}
— высота четырёхугольной пирамиды EAKLB
с вершиной E
, MM_{1}
— высота четырёхугольной пирамиды MABCD
с вершиной M
, FF_{1}
— высота четырёхугольной пирамиды FCDKL
с вершиной F
. Обозначим EE_{1}=a
, MM_{1}=b
, FF_{1}=c
, S_{ABCD}=S
. Из условия задачи следует, что V_{ABCD}=\frac{1}{3}S\cdot b=6
.
Поскольку M
— середина отрезка EF
, M_{1}
— середина отрезка E_{1}F_{1}
. Поэтому
b=MM_{1}=\frac{1}{2}(EE_{1}+FF_{1})=\frac{a+c}{2}.
Тогда
V_{EKLF}=V_{ABCDFE}-V_{EAKLB}-V_{FCDKL}=19-\frac{1}{3}S_{ABLK}\cdot a-\frac{1}{3}S_{CDKL}\cdot c=
=19-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}S\cdot a+\frac{1}{2}S\cdot c\right)=19-\frac{1}{3}S\cdot\frac{a+c}{2}=19-\frac{1}{3}S\cdot b=
=19-V_{MABCD}=19-6=13.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 2004 (основной экзамен, июль), № 3, вариант 1
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 45