8639. На боковых рёбрах SA
, SB
и SC
четырёхугольной пирамиды SABCD
, основание которой есть квадрат, взяты соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
так, что SA_{1}:SA=3:7
, SB_{1}:SB=2:7
и SC_{1}:SC=4:9
. Плоскость, проходящая через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
пересекает ребро SD
в точке D_{1}
. Найдите отношение SD_{1}:SD
и отношение объёма пирамиды SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
к объёму пирамиды SABCD
.
Ответ. \frac{12}{13}
; \frac{220}{1911}
.
Решение. Обозначим V_{SABCD}=V
, \frac{AD_{1}}{AD}=x
. Плоскость диагонального сечения SAC
пирамиды разбивает её на две равновеликие пирамиды, поэтому V_{SABC}=V_{SACD}=\frac{1}{2}V
. Тогда
V_{SA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}\cdot V_{SABC}=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{4}{147}V,
V_{SA_{1}D_{1}C_{1}}=\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SD_{1}}{SD}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}\cdot V_{SADC}=\frac{3}{7}\cdot x\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{2}{21}Vx.
Аналогично,
V_{SA_{1}B_{1}D_{1}}=\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SD_{1}}{SD}\cdot V_{SABD}=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{7}\cdot x\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{49}Vx,
V_{SB_{1}D_{1}C_{1}}=\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SD_{1}}{SD}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}\cdot V_{SBDC}=\frac{2}{7}\cdot x\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{4}{63}Vx,
а так как
V_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{SA_{1}B_{1}C_{1}}+V_{SA_{1}D_{1}C_{1}}=V_{SA_{1}B_{1}D_{1}}+V_{SB_{1}D_{1}C_{1}},
получим уравнение
\frac{4}{147}V+\frac{2}{21}Vx=\frac{3}{49}Vx+\frac{4}{63}Vx,
из которого находим, что x=\frac{12}{13}
. Тогда
V_{SA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=V_{SA_{1}B_{1}C_{1}}+V_{SA_{1}D_{1}C_{1}}=
=\frac{4}{147}V+\frac{2}{21}Vx=\frac{2}{21}\left(\frac{2}{7}+\frac{12}{13}\right)V=\frac{2}{21}\cdot\frac{110}{91}V=\frac{220}{1911}V.