8647. В правильной треугольной призме BCDB_{1}C_{1}D_{1}
(BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
) известно, что BB_{1}:BC=5:3
. На боковых рёбрах BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
взяты точки L
, M
и N
соответственно, причём BL:LB_{1}=3:2
, CM:MC_{1}=2:3
, DN:ND_{1}=1:4
. Найдите двугранный угол между плоскостями LMN
и BCD
.
Ответ. \arctg\frac{2}{3}
.
Решение. Положим BB_{1}=5a
, BC=3a
. Тогда
BL=\frac{3}{5}BB_{1}=\frac{3}{5}\cdot5a=3a,~CM=\frac{2}{5}CC_{1}=\frac{2}{5}BB_{1}=2a,
DN=\frac{1}{5}DD_{1}=\frac{1}{5}BB_{1}=a.
Пусть прямые LM
и BC
пересекаются в точке P
, а прямые LN
и BD
— в точке Q
. Из подобия треугольников PCM
и PBL
следует, что
\frac{PC}{PB}=\frac{CM}{BL},~\mbox{или}~\frac{PC}{PC+3a}=\frac{2}{3}.
Отсюда находим, что PC=6a
. Аналогично находим, что DQ=\frac{3}{2}a
. Тогда
BP=BC+CP=3a+6a=9a,~BQ=BD+DQ=3a+\frac{3}{2}a=\frac{9}{2}a.
Значит, в треугольнике PBQ
известно, что
\angle PBQ=60^{\circ},~BP=9a,~BQ=\frac{9}{2}a.
Поскольку BP=2BQ
и \angle PBQ=60^{\circ}
, треугольник PBQ
— прямоугольный, \angle BQP=90^{\circ}
. Значит, BQ\perp PQ
, а так как BQ
— ортогональная проекция наклонной LQ
на плоскость BCD
, то по теореме о трёх перпендикулярах LQ\perp PQ
. Следовательно, LQB
— линейный угол двугранного угла между плоскостями LMN
и BCD
.
Из прямоугольного треугольника LBQ
находим, что
\tg\angle LQB=\frac{BL}{BQ}=\frac{3a}{\frac{9}{2}a}=\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 2004 (предварительный экзамен, март), № 8, вариант 1