8651. Основанием пирамиды SABC
является правильный треугольник ABC
со стороной 2\sqrt{2}
. Рёбра SB
и SC
равны. Шар касается сторон основания, плоскости грани SBC
, а также ребра SA
. Чему равен радиус шара, если SA=\frac{3\sqrt{2}}{2}
?
Ответ. 1.
Решение. Пусть шар радиуса R
касается стороны BC
основания в точке D
(рис. 1). Тогда D
— единственная общая точка шара с плоскостью грани SBC
, т. е. шар касается этой плоскости в точке D
.
Если шар касается рёбер AB
и AC
в точках M
и N
соответственно, то центр O
шара лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка MN
перпендикулярно MN
. Поскольку треугольник ABC
— равносторонний, то эта плоскость также перпендикулярна ребру BC
и проходит через середину BC
, а так как точка S
равноудалена от концов отрезка BC
, то вершина S
лежит в этой плоскости. Поскольку SD\perp BC
, точка D
— середина BC
.
Сечение шара плоскостью основания пирамиды есть круг, вписанный в равносторонний треугольник ABC
со стороной a=2\sqrt{2}
(рис. 2). Если r
— радиус этого круга, то
r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Если E
— точка пересечения вписанной окружности треугольника ABC
с отрезком AD
, то
DE=2r=\frac{2\sqrt{6}}{3},~AE=AD-DE=\frac{a\sqrt{3}}{2}-2r=\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
Пусть шар касается ребра SA
в точке K
. Рассмотрим сечение пирамиды и сферы плоскостью SAD
(рис. 3). Получим окружность с центром O
радиуса R
, проходящую через точки D
, K
, E
и касающуюся SD
и SA
в точках D
и K
. По теореме о касательной и секущей
AK=\sqrt{AE\cdot AD}=\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\sqrt{6}}=\sqrt{2}.
Тогда
SD=SK=SA-AK=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому SO
— биссектриса угла ASD
. Обозначим \angle ASO=\angle DSO=\alpha
. По теореме косинусов
\cos2\alpha=\cos\angle ASD=\frac{SA^{2}+SD^{2}-AD^{2}}{2SA\cdot SD}=
=\frac{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-(\sqrt{6})^{2}}{2\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{9}{2}+\frac{1}{2}-6}{3}=-\frac{1}{3}.
Из уравнения
-\frac{1}{3}=\cos2\alpha=\frac{1-\tg^{2}\alpha}{1+\tg^{2}\alpha},
находим, что \tg\alpha=\sqrt{2}
. Следовательно,
R=OD=SD\tg\angle OSD=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tg\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=1.