8653. В правильную треугольную пирамиду с высотой h=\frac{5}{4}
и стороной основания a=\sqrt{15}
вложены пять шаров одинакового радиуса. Один из шаров касается основания пирамиды в его центре. Каждый из трёх других шаров касается своей боковой грани, причём точка касания лежит на апофеме и делит её в отношении 1:2
, считая от вершины. Пятый шар касается всех четырёх шаров. Найдите радиус шаров.
Ответ. \frac{1}{6}
.
Решение. Пусть SABC
— правильная пирамида с вершиной S
, SH
— её высота, O_{1}
— центр первого шара, O
— центр пятого шара, O_{2}
— центр шара, касающегося грани ABC
в точке E
, лежащей на апофеме SD
. Тогда
HD=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{15}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{2},
SD=\sqrt{SH^{2}+HD^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{4},
AE=\frac{2}{3}\cdot SD=\frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}=HD.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SDH
. Из равенства прямоугольных треугольников DHO_{1}
и DEO_{2}
(по двум катетам) следует равенство треугольников DOO_{2}
и DOO_{1}
(по трём сторонам), значит,
\angle SDO=\angle EDO_{2}+\angle O_{2}DO=\angle HDO_{1}+\angle O_{1}DO=\angle HDO,
т. е. DO
— биссектриса треугольника SDH
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{OH}{OS}=\frac{DH}{DS}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{4}}=\frac{2}{3},
поэтому
OH=\frac{2}{5}SH=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{1}{2}.
Пусть R
— радиус шаров. Тогда OH=3R
. Из уравнения 3R=\frac{1}{2}
находим, что R=\frac{1}{6}
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 2004, № 7, вариант 1
Источник: Аввакумов С. Н., Бенинг В. Е. и др. Математика. Задачи вступительных экзаменов по математике. 2004. — М., 2004. — с. 16