8655. Три сферы, радиусы которых равны \sqrt{6}
, 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A
и B
второй и третьей сфер, проведена плоскость \gamma
так, что центр O
первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA
и OB
на плоскость \gamma
и сравните его с \arccos\frac{4}{5}
.
Ответ. \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Поскольку вторая и третья сфера равны, они не могут касаться внутренним образом. Значит, AB
= 2.
Если первая сфера касается одной из равных сфер внешним образом, а второй — внутренним, то центры трёх сфер лежат на одной прямой. Тогда плоскость \gamma
проходит через центр O
первой сферы, что противоречит условию задачи.
Пусть сферы с центрами A
и B
касаются сферы с центром O
внешним образом. Тогда OA=OB=1+\sqrt{6}
. Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на плоскость \gamma
. Из прямоугольных треугольников OAH
и OBH
находим, что
BH=AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{(1+\sqrt{6})^{2}-1}=\sqrt{6+2\sqrt{6}}.
Тогда по теореме косинусов
\cos\angle AHB=\frac{AH^{2}+BH^{2}-AB^{2}}{2AH\cdot BH}=\frac{2(6+2\sqrt{6})-4}{2(6+2\sqrt{6})}=
=\frac{2+\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Пусть сферы с центрами A
и B
касаются сферы с центром O
внутренним образом. Тогда OA=OB=\sqrt{6}-1
и аналогично получим, что \cos\angle AHB=-\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Углом между пересекающимися прямыми называется угловая мера наименьшего из углов, образованных пересечением этих прямых. Поэтому в каждом из двух разобранных случаев косинус угла между прямыми AH
и BH
равен \sqrt{\frac{2}{3}}
, а так как
\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{16}{24}}\gt\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5},
то \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}\lt\arccos\frac{4}{5}
.