8665. Основанием пирамиды SABCD
является трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
, причём BC:AD=2:5
. Диагонали трапеции пересекаются в точке E
, а центр O
вписанной в пирамиду сферы лежит на отрезке SE
и делит его в отношении SO:OE=7:2
. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если площадь боковой грани SBC
равна 8.
Ответ. 126.
Решение. Обозначим
S_{\triangle BSC}=S_{1},~S_{\triangle ASB}=S_{2},~S_{\triangle ASD}=S_{3},~S_{\triangle CSD}=S_{4},~S_{\mbox{осн.}}=S_{ABCD}=S,
V_{SBEC}=V_{1},~V_{SAEB}=V_{2},~V_{SAED}=V_{3},~V_{SCED}=V_{4},~V_{SABCD}=V.
По условию S_{1}=8
.
Заметим, что
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AD}=\frac{2}{5},~\frac{S_{1}}{S_{3}}=\left(\frac{BC}{AD}\right)^{2}=\frac{4}{25},~\frac{S_{1}}{S_{4}}=\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AD}=\frac{2}{5},
поэтому
S_{2}=\frac{5}{2}S_{1}=\frac{5}{2}\cdot8=20,~S_{3}=\frac{25}{4}S_{1}=\frac{25}{4}\cdot8=50,~S_{4}=\frac{5}{2}S_{1}=\frac{5}{2}\cdot8=20.
Значит,
S_{\mbox{бок.}}=S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=8+20+50+20=98.
Пусть r
— радиус вписанной в пирамиду сферы, h
— высота пирамиды. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\mbox{полн.}}r=\frac{1}{3}S_{\mbox{осн.}}h,
а так как центр O
вписанной сферы лежит на отрезке SE
, то \frac{r}{h}=\frac{OE}{SE}=\frac{2}{9}
, поэтому
\frac{S_{\mbox{полн.}}}{S_{\mbox{осн.}}}=\frac{h}{r}=\frac{9}{2}.
С другой стороны, высоты пирамид SBEC
, SAEB
, SAED
и SCED
, проведённые из общей вершины E
, равны \frac{9}{7}r
, поэтому
V=V_{SBEC}+V_{SAEB}+V_{SAED}+V_{SCED}=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}=
=\frac{1}{3}S_{1}\cdot\frac{9}{7}r+\frac{1}{3}S_{2}\cdot\frac{9}{7}r+\frac{1}{3}S_{3}\cdot\frac{9}{7}r+\frac{1}{3}S_{4}\cdot\frac{9}{7}r=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{7}r(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})r=
=\frac{3}{7}S_{\mbox{бок.}}r=\frac{1}{3}S_{\mbox{полн.}}r,
откуда \frac{S_{\mbox{полн.}}}{S_{\mbox{бок.}}}=\frac{9}{7}
. Следовательно,
S_{\mbox{полн.}}=\frac{9}{7}S_{\mbox{бок.}}=\frac{9}{7}\cdot98=126.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1999 (предварительный экзамен, май), № 6, вариант 1