8669. Три шара радиусов 1, 2 и 5 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{\frac{31}{5}}
.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры шаров радиусов 1, 2 и 5 соответственно, \alpha
— биссекторная плоскость угла между данными плоскостями. Тогда точки O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
лежат в плоскости \alpha
, а так как линия центров двух касающихся шаров проходит через их точку касания, то стороны треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
равны 3, 6 и 7 (рис. 1). По формуле Герона находим, что
S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}=\sqrt{8(8-3)(8-6)(8-7)}=\sqrt{8\cdot5\cdot2\cdot1}=4\sqrt{5}.
Пусть A
, B
и C
— точки касания шаров радиусов соответственно 1, 2 и 5 с одной из данных плоскостей. Прямые O_{1}A
и O_{2}B
перпендикулярны этой плоскости как радиусы, проведённые в точки касания шаров с плоскостью, значит, прямые O_{1}A
и O_{2}B
лежат в одной плоскости, а в сечении шаров этой плоскостью мы увидим две касающиеся окружности радиусов 1 и 2 и их общую касательную AB
(рис. 2). Тогда
AB=2\sqrt{O_{1}A\cdot O_{2}B}=2\sqrt{1\cdot2}=2\sqrt{2}
(см. задачу 365). Аналогично находим, что AC=2\sqrt{5}
и BC=2\sqrt{10}
. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{10})(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{10})(\sqrt{2}+\sqrt{10}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{10}-\sqrt{2})}=
=\sqrt{\left((\sqrt{2}+\sqrt{5})^{2}-10\right)\left(10-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}\right)}=\sqrt{(7+2\sqrt{10}-10)(10-7+2\sqrt{10})}=
=\sqrt{(2\sqrt{10}-3)(2\sqrt{10}+3)}=\sqrt{40-9}=\sqrt{31}.
Пусть угол между данными плоскостями равен \varphi
. Тогда по теореме о площади ортогональной проекции треугольника S_{\triangle ABC}=S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}\cos\frac{\varphi}{2}
, откуда
\cos\frac{\varphi}{2}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle O_{1}O_{2}O_{3}}}=\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt{5}}.
Пусть D
— точка касания первого шара со второй из данных плоскостей. Рассмотрим сечение двугранного угла между данными плоскостями, проведённое через прямые O_{1}A
и O_{1}D
. Получим линейный угол APD
двугранного угла и вписанную в него окружность радиуса 1 (рис. 3). Поскольку \angle ADO_{1}=\angle APO_{1}=\frac{\varphi}{2}
, из равнобедренного треугольника AO_{1}D
находим, что
AD=2O_{1}A\cos\frac{\varphi}{2}=2\cdot\frac{\sqrt{31}}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{31}}{2\sqrt{5}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1999 (основной экзамен, июль), № 6, вариант 1