8674. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— основания, AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
) отрезки M_{1}N_{1}
, M_{2}N_{2}
, M_{3}N_{3}
— общие перпендикуляры к парам отрезков A_{1}D
и AB_{1}
, A_{1}B
и AC
, BD
и AD_{1}
соответственно. Объём параллелепипеда равен V
, радиус описанной сферы равен R
, а сумма длин рёбер AA_{1}
, AB
и AD
равна m
. Найдите сумму объёмов пирамид AA_{1}M_{1}N_{1}
, ABM_{2}N_{2}
и ADM_{3}N_{3}
.
Ответ. \frac{2}{3}V^{3}R^{2}\left(\left(\frac{m^{2}-4R^{2}}{2}\right)^{2}-2Vm\right)^{-2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1999 (предварительный экзамен, апрель), № 6, вариант 2
Источник: Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями / Сост. Е. А. Григорьев. — М.: УНЦ ДО, 2004. — с. 10