8675. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
) известно, что AB=BC=2a
, AA_{1}=a
. Плоскость сечения проходит через точки B_{1}
и D
параллельно прямой AC
. Найдите радиус шара, касающегося этого сечения и трёх граней параллелепипеда с общей вершиной B
.
Ответ. \frac{4-2\sqrt{2}}{3}a=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\ctg\left(\frac{1}{2}\arctg\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}
.
Решение. Пусть O
— центр указанного шара радиуса R
, \angle B_{1}BO=\angle CBO=\angle DBO=\alpha
(рис. 1). Рассмотрим правильную пирамиду, все плоские углы при вершине которой, — прямые (рис. 2). Тогда боковое ребро этой пирамиды образует с высотой также угол \alpha
. Пусть боковые рёбра этой пирамиды равны. Тогда стороны основания равны \sqrt{2}
, а проекция бокового ребра на плоскость основания равна \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}
, поэтому
\sin\alpha=\frac{\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{6}}{3},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3},~\tg\alpha=\sqrt{2}.
Данный параллелепипед и его сечение, о котором говорится в условии задачи, симметричны относительно плоскости BB_{1}D_{1}D
, поэтому шар касается секущей плоскости в точке P
, лежащей на диагонали DB_{1}
, а плоскости грани ABCD
— в точке Q
, лежащей на диагонали BD
квадрата ABCD
.
Рассмотрим сечение параллелепипеда плоскостью BB_{1}D_{1}D
. Получим прямоугольник BB_{1}D_{1}D
и окружность радиуса R
с центром в точке O
, касающуюся катета BD
прямоугольного треугольника BDB_{1}
в точке Q
, гипотенузы DB_{1}
— в точке P
, причём \angle BOQ=\alpha
. Положим \angle BDB_{1}=2\beta
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому \angle BDO=\beta
, а так как
\tg2\beta=\frac{BB_{1}}{BD}=\frac{a}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}
и \tg2\beta=\frac{2\tg\beta}{1-\tg^{2}\beta}
, то из уравнения \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{2\tg\beta}{1-\tg^{2}\beta}
находим, что \tg\beta=3-2\sqrt{2}
. Далее находим:
DQ=\frac{OQ}{\tg\beta}=\frac{R}{3-2\sqrt{2}}=R(3+2\sqrt{2}),
BQ=OQ\tg\angle BOQ=OQ\tg\angle OBB_{1}=R\tg\alpha=R\sqrt{2},
а так как OQ=DQ\tg\beta
, получим уравнение
R=(2a\sqrt{2}-R\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}),
из которого находим, что R=\frac{4-2\sqrt{2}}{3}a
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1999 (предварительный экзамен, май), № 8, вариант 1