8678. В правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
боковое ребро SA
равно b
. Сфера радиуса \frac{b}{2}
касается плоскости SAC
в точке C
и проходит через точку B
. Найдите \angle ASC
.
Ответ. \arccos\frac{\sqrt{13}-1}{4}=2\arccos\sqrt{\frac{3+\sqrt{13}}{8}}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы. Заметим, что треугольники AOC
и AOB
равны по трём сторонам, а так как OC\perp AC
(как радиус сферы, проведённый в точку касания с касательной плоскостью), то OB\perp AB
(рис. 1). Аналогично докажем, что OB\perp SB
, значит, прямая OB
перпендикулярна плоскости грани ASB
. Следовательно, B
— точка касания сферы с этой плоскостью. Прямая AS
перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB
и OC
плоскости OBC
, значит, прямая AS
перпендикулярна этой плоскости.
Пусть E
— точка пересечения плоскости OBC
с прямой AS
. Тогда BE\perp AS
, т. е. BE
— высота равнобедренного треугольника ASB
. Обозначим через a
сторону основания пирамиды. Если SH
— также высота треугольника ASB
, то SH\cdot AB=AS\cdot BE
, откуда
BE=\frac{SH\cdot AB}{AS}=\frac{a\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{4}}}{b}=\frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2b}.
Поскольку точки E
и O
равноудалены от концов отрезка AB
, прямая OE
— серединный перпендикуляр к этому отрезку, поэтому точка M
пересечения прямых BC
и OE
— середина BC
. Значит, BM=CM=\frac{a}{2}
.
Рассмотрим треугольник BOE
(рис. 2). В нём известно, что \angle OBE=90^{\circ}
, BO=\frac{b}{2}
(радиус сферы), BE=\frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2b}
, BM
— высота. Обозначим \angle OBM=\angle BEO=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{BM}{BO}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{b}{2}}=\frac{a}{b},
\tg\alpha=\frac{BO}{BE}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}{2b}}=\frac{b^{2}}{a\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}.
Подставив найденные значения в формулу 1+\tg^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}
, получим уравнение
1+\frac{b^{4}}{a^{2}(4b^{2}-a^{2})}=\frac{b^{2}}{a^{2}}.
После очевидных упрощений получим биквадратное уравнение
\left(\frac{a}{b}\right)^{4}-5\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+3=0
относительно \frac{a}{b}=\cos\alpha
. Условию задачи удовлетворяет его единственный корень \cos\alpha=\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}
.
Из равнобедренного треугольника ASB
находим, что
\sin\frac{1}{2}\angle ASB=\frac{AB}{2AS}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}{2}}.
Следовательно,
\cos\angle ASB=1-2\sin^{2}\frac{1}{2}\angle ASB=1-\frac{5-\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{13}-1}{4}.