8679. В сферу радиуса \sqrt{3}
вписан параллелепипед, объём которого равен 8. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
Ответ. 24.
Решение. Поскольку около параллелепипеда описана сфера, этот параллелепипед — прямоугольный. Обозначим его рёбра, исходящие из одной вершины, через a
, b
и c
. Диагонали параллелепипеда равны диаметру описанной сферы, объём равен abc
, а полная поверхность равна сумме площадей всех шести граней, т. е. 2(ab+bc+ac)
. Из условия задачи следует, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}=12,~abc=8.
Применяя к положительным числам a^{2}
, b^{2}
и c^{2}
неравенство Коши (среднее арифметическое трёх неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического) получим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant3\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}=3\sqrt[{3}]{{8^{2}}}=12,
причём равенство достигается только в том случае, когда a^{2}=b^{2}=c^{2}
, или a=b=c
, т. е. a=b=c=2
. Следовательно,
2(ab+bc+ac)=2(4+4+4)=24.