8682. Сфера радиуса \sqrt{41}
проходит через вершины B
, C
, C_{1}
и через середину ребра A_{1}D_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
). Найдите площадь поверхности куба.
Ответ. 384.
Решение. Пусть M
— середина ребра A_{1}D_{1}
. Центр O
сферы равноудалён от концов отрезка BC
, значит, точка O
лежит в плоскости, перпендикулярной ребру BC
и проходящей через его середину. Аналогично, точка O
лежит в плоскости, перпендикулярной ребру CC_{1}
и проходящей через середину CC_{1}
. Эти две плоскости пересекаются по прямой, проходящей через центры P
и Q
граней AA_{1}D_{1}D
и BB_{1}C_{1}C
соответственно. Точка O
равноудалена от концов отрезка MC_{1}
, значит, точка O
лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку MC_{1}
и проходящей через его середину E
. Эта плоскость пересекает прямую PQ
в точке, равноудалённой от точек B
, C
, C_{1}
и M
, т. е. в точке O
.
Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость, проходящую через прямую PQ
, параллельно грани ABCD
. Пусть A'
, B'
, C'
и D'
проекции на эту плоскость вершин A
, B
, C
и D
соответственно, E'
— проекция точки E
. Обозначим через x
ребро куба, через R
— радиус сферы. Из прямоугольных треугольников PQC'
, POE'
и POM
находим, что
PC'=\sqrt{PD'^{2}+C'D'^{2}}=\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+x^{2}}=\frac{x\sqrt{5}}{2},~PE'=\frac{1}{2}PC'=\frac{x\sqrt{5}}{4},~
\tg\angle QPC'=\frac{C'Q}{PQ}=\frac{1}{2},~\cos\angle QPC'=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\angle QPC'}}=\frac{2}{\sqrt{5}},
PO=\frac{PE'}{\cos\angle QPC'}=\frac{\frac{x\sqrt{5}}{4}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{5}{8}x,
41=R^{2}=OM^{2}=PO^{2}+PM^{2}=\frac{25}{64}x^{2}+\frac{x^{2}}{4}=\frac{41}{64}x^{2},
откуда x^{2}=64
. Следовательно, полная поверхность куба равна 6x^{2}=384
.