8690. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом \frac{\pi}{8}
. Каждое боковое ребро равно \sqrt{6}
и наклонено к плоскости основания под углом \frac{5\pi}{13}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \sqrt{3}\sin\frac{10\pi}{13}\cos\frac{5\pi}{13}
.
Решение. Пусть DH
— высота треугольной пирамиды ABCD
, основание ABC
которой — прямоугольный треугольник ABC
с углами \angle ACB=\frac{\pi}{2}
, \angle BAC=\frac{\pi}{8}
. Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, точка H
— центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC
, т. е. середина гипотенузы AB
.
Из прямоугольных треугольников ADH
и ABC
находим, что
DH=AD\sin\angle DAH=\sqrt{6}\sin\frac{5\pi}{13},~AB=2AH=2\sqrt{6}\cos\frac{5\pi}{13},
BC=AB\sin\angle BAC=AB\sin\frac{\pi}{8},~AC=AB\cos\angle BAC=AB\cos\frac{\pi}{8}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AC\cdot DH=\frac{1}{6}AB\sin\frac{\pi}{8}\cdot AB\cos\frac{\pi}{8}\cdot\sqrt{6}\sin\frac{5\pi}{13}=
=\frac{1}{12}\sin\frac{\pi}{4}AB^{2}\sqrt{6}\sin\frac{5\pi}{13}=\frac{\sqrt{2}}{24}\cdot24\cos^{2}\frac{5\pi}{13}\cdot\sqrt{6}\sin\frac{5\pi}{13}=
=\sqrt{3}\cdot2\cos\frac{5\pi}{13}\sin\frac{5\pi}{13}\cos\frac{5\pi}{13}=\sqrt{3}\sin\frac{10\pi}{13}\cos\frac{5\pi}{13}.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 1999, № 4, вариант 1