8718. Три шара радиуса r
касаются друг друга внешним образом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R
. При каком соотношении между r
и R
это возможно? Найдите радиус наибольшего из шаров, касающегося трёх шаров радиуса r
внешним образом, а сферы радиуса R
внутренним образом.
Ответ. R\geqslant\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)r
; \frac{R\left(R-r+\sqrt{R^{2}-2Rr-\frac{r^{2}}{3}}\right)}{r+R+\sqrt{R^{2}-2Rr-\frac{r^{2}}{3}}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2001, билет 8, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 01-8-6, с. 400