8729. Сторона основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
равна 6, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Точки B_{1}
и C_{1}
— середины рёбер BD
и CD
соответственно, CA_{1}
— высота в треугольнике ACD
. Найдите:
1) угол между прямыми BC
и A_{1}C_{1}
;
2) площадь треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
;
3) расстояние от точки C
до плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
;
4) радиус вписанного в пирамиду A_{1}B_{1}C_{1}D
шара.
Ответ. \arccos\frac{3}{5}
; 3; \frac{21\sqrt{39}}{100}
; \frac{7\sqrt{39}}{104}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2005, билет 11, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 05-11-4, с. 445