8744. Высота конуса с вершиной O
равна 4, Радиус основания равен 2. Пирамида ABCD
вписана в конус так, что точки A
и C
принадлежат окружности основания, точки B
и D
принадлежат боковой поверхности, причём точка B
принадлежит образующей OA
. Прямая BD
параллельна плоскости основания конуса, \frac{OB}{BA}=\frac{1}{2}
, AC=\sqrt{7}
, BD=\frac{\sqrt{7}}{3}
. Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB
и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD
.
Ответ. V=\frac{7\sqrt{7}}{18}
; \varphi=2\arcsin\sqrt{\frac{45}{73}}
; R=\frac{2\sqrt{10}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2005, билет 2, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 05-2-6, с. 437