8745. Высота конуса с вершиной O
равна 2, образующая конуса равна \sqrt{13}
. Пирамида ABCD
вписана в конус так, что точки A
и C
принадлежат окружности основания, точки B
и D
принадлежат боковой поверхности, причём точка B
принадлежит образующей OA
. Точки B
и D
равноудалены от плоскости основания конуса, OB=\frac{\sqrt{13}}{3}
, AC=4\sqrt{2}
, BD=\frac{4\sqrt{2}}{3}
. Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB
и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD
.
Ответ. V=\frac{256\sqrt{2}}{243}
; \varphi=2\arcsin\sqrt{\frac{13}{45}}
; R=\frac{\sqrt{130}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2005, билет 3, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 05-3-6, с. 438