8754. В основании четырёхугольной пирамиды SKLMN
лежит равнобедренная трапеция KLMN
(LM=KN
), описанная около окружности радиуса \sqrt{3}
, \angle MLK=\frac{2\pi}{3}
. Две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна 6\sqrt{3}
. Найдите расстояние от точки N
до плоскости SKL
.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SMN
, а вершина принадлежит грани SKL
. Вычислите высоту конуса.
Ответ. \frac{12\sqrt{111}}{37}
, \frac{48\sqrt{15}}{65}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1998, билет 8, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 98-8-5, с. 380