8771. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
боковое ребро равно \sqrt{14}
, сторона основания ABCD
призмы равна 6. Окружность основания конуса вписана в треугольник BC_{1}D
, а вершина конуса лежит в плоскости ABC_{1}
. Найдите объём конуса.
Ответ. \frac{9\sqrt{14}}{20}\pi
.
Решение. Пусть O
— центр основания конуса, т. е. центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник BC_{1}D
со сторонами
DC_{1}=BC_{1}=\sqrt{CB^{2}+CC_{1}^{2}}=\sqrt{36+14}=\sqrt{50}=5\sqrt{2},
BD=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2},
Q
— центр квадрата ABCD
, т. е. середина BD
. Тогда
C_{1}O=\sqrt{CC_{1}^{2}+CQ^{2}}=\sqrt{14+(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{14+18}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Если r
— радиус окружности, p
— полупериметр треугольника BC_{1}D
, а S
— его площадь, то
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}BD\cdot C_{1}Q}{BC_{1}+BQ}=\frac{3\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}}{5\sqrt{2}+3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Поскольку A
и C_{1}
— общие точки плоскостей ABC_{1}
и BDC_{1}
, эти плоскости пересекаются по прямой AC_{1}
. В плоскости BC_{1}D
восставим перпендикуляр к C_{1}Q
из точки O
. Пусть P
— точка пересечения этого перпендикуляра с прямой AC_{1}
. Прямая BD
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и CC_{1}
плоскости ACC_{1}
, значит, OP\perp BQ
, а так как OP\perp QC_{1}
, то прямая OP
перпендикулярна плоскости BC_{1}D
, т. е. PO
— высота конуса.
Рассмотрим треугольник ACC_{1}
. Обозначим \angle AC_{1}C=\alpha
, \angle QC_{1}C=\beta
. Тогда
\tg\alpha=\frac{AC}{CC_{1}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{7}},~\tg\beta=\frac{QC}{CC_{1}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{7}}.
Тогда
\tg\angle AC_{1}Q=\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}=\frac{\frac{6}{\sqrt{7}}-\frac{3}{\sqrt{7}}}{1+\frac{6}{\sqrt{7}}\cdot\frac{3}{\sqrt{7}}}=\frac{3\sqrt{7}}{25}.
Из прямоугольного треугольника OPC_{1}
находим, что
PO=OC_{1}\tg\angle OPC_{1}=(C_{1}Q-OQ)\tg(\alpha-\beta)=\left(4\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{3\sqrt{7}}{25}=
=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{7}}{25}=\frac{3\sqrt{14}}{10}.
Следовательно, если V
— объём конуса, то
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot OP=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{3\sqrt{14}}{10}=\frac{9\sqrt{14}}{20}\pi.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1995, билет 5, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 95-5-5, с. 350