8775. На ребре AC
правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
взята точка K
так, что AK=\frac{1}{4}
, CK=\frac{3}{4}
. Через точку K
проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC
угол \arctg\frac{7}{6}
и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найдите объём призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
Ответ. \frac{3}{8}
.
Решение. Пусть \Phi_{1}
и \Phi_{2}
— многогранники, на которые рассекает призму плоскость \alpha
, причём около многогранника \Phi_{1}
можно описать сферы, а около \Phi_{2}
— нельзя, S_{1}
и S_{2}
соответственно — площади их поверхностей. Каждая грань вписанного в сферу многогранника — вписанный в окружность многоугольник, так как сечение сферы плоскостью этой грани — окружность, на которой лежат вершины этой грани.
Предположим, что плоскость \alpha
пересекает ребро A_{1}C_{1}
призмы в некоторой точке P
. Если при этом PK\parallel AA_{1}
, то плоскость \alpha
перпендикулярна плоскости ABC
, что невозможно, так как угол между этими плоскостями равен \arctg\frac{7}{6}
. Если же прямая PK
не параллельна CC_{1}
, то она разбивает прямоугольник на две прямоугольные трапеции, что также невозможно, так как около прямоугольной трапеции нельзя описать окружность. Значит, плоскость \alpha
пересекает либо ребро CC_{1}
, либо ребро AA_{1}
.
1. Пусть плоскость \alpha
пересекает ребро CC_{1}
в некоторой точке N
. Тогда гранью многогранника \Phi_{1}
может быть только треугольник KCN
, так как окружность, проходящая через точки A
, A_{1}
и C_{1}
, — это окружность, описанная около прямоугольника AA_{1}C_{1}C
, и она не может проходить через точки N
и K
. Если при этом \alpha
пересекает ребро BC
в некоторой точке Q
, то многогранник \Phi_{1}
— треугольная пирамида CKQN
, и площадь S_{1}
её поверхности, очевидно, меньше площади S_{2}
. Если же \alpha
пересекает ребро B_{1}C_{1}
в некоторой точке H
, то точка D
пересечения прямых NH
и BB_{1}
лежала бы на продолжении ребра BB_{1}
за точку B_{1}
, а точка F
пересечения прямых NK
и AA_{1}
— на продолжении ребра AA_{1}
за точку A
, поэтому прямая DF
(а значит, и плоскость \alpha
) пересекала бы рёбра AB
и A_{1}B_{1}
, что невозможно, так как прямая DE
разбивала бы грань AA_{1}B_{1}
на две прямоугольные трапеции. Аналогично, плоскость \alpha
не может пересекать рёбра AB
и A_{1}B_{1}
.
Таким образом, остаётся только одна возможность — плоскость \alpha
пересекает ребро BB_{1}
в некоторой точке M
. При этом MN\parallel BC
, так как в противном случае прямая MN
разобьёт прямоугольник BB_{1}C_{1}C
на две прямоугольные трапеции. Следовательно, плоскость \alpha
пересекает основание ABC
по прямой, проходящей через точку K
параллельно BC
. Пусть эта прямая пересекает ребро AB
в точке L
. Тогда
\frac{AL}{LB}=\frac{AK}{KC}=\frac{1}{3},~AL=AK=\frac{1}{4},~BL=CK=\frac{3}{4},
2. Пусть плоскость \alpha
пересекает ребро CC_{1}
в некоторой точке N'
. Рассуждая аналогично, докажем, что \alpha
пересекает основание ABC
по некоторому отрезку KL'
, причём KL'\parallel AB
и
CL'=CK=\frac{3}{4},~BL'=AK=\frac{1}{4}.
В этом случае
S_{1}=S_{ABL'K}+2S_{\triangle KAN'}+S_{\mbox{сеч.}}\lt\frac{7}{16}S_{\triangle ABC}+2\cdot\frac{1}{8}S_{ACC_{1}A_{1}}+S_{\mbox{сеч.}}\lt S_{2},
что противоречит условию. Таким образом, установлено, что плоскость \alpha
может пересекать призму только по равнобедренной трапеции KLMN
.
3. Пусть T
и T_{1}
— середины BC
и B_{1}C_{1}
соответственно, R
— точка пересечения медианы AT
равностороннего треугольника ABC
с отрезком KL
, E
— точка пересечения отрезков TT_{1}
и MN
. Тогда ERT
— линейный угол двугранного угла между плоскостью основания призмы и плоскостью \alpha
. Обозначим \angle ERT=\varphi
, AA_{1}=h
, AB=BC=AC=a
. По условию задачи \tg\varphi=\frac{7}{6}
, a=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1
. Из прямоугольного треугольника ERT
находим, что
ET=RT\tg\varphi=\frac{3}{4}AT\tg\varphi=\frac{3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\tg\varphi=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{7}{6}=\frac{7\sqrt{3}}{16}.
Тогда
S_{BCNM}=BC\cdot ET=1\cdot\frac{7\sqrt{3}}{16}=\frac{7\sqrt{3}}{16},
S_{\triangle KCN}=S_{\triangle LBM}=\frac{1}{2}BL\cdot BM=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{7\sqrt{3}}{16}=\frac{21\sqrt{3}}{128},
S_{BCKL}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AKL}=S_{\triangle ABC}-\frac{1}{16}S_{\triangle ABC}=\frac{15}{16}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{15\sqrt{3}}{64},
S_{MB_{1}C_{1}N}=B_{1}C_{1}\cdot(h-BM)=h-\frac{7\sqrt{3}}{16},~
S_{AKNC_{1}A_{1}}=S_{ALMB_{1}A_{1}}=S_{AA_{1}B_{1}B}-S_{\triangle LBM}=AB\cdot h-\frac{21\sqrt{3}}{128}=h-\frac{21\sqrt{3}}{128},~
S_{\triangle AKL}=\frac{1}{16}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{64},
S_{1}=S_{BCNM}+2S_{\triangle LBM}+S_{BCKL}+S_{\mbox{сеч.}}=
=\frac{7\sqrt{3}}{16}+\frac{21\sqrt{3}}{64}+\frac{15\sqrt{3}}{64}+S_{\mbox{сеч.}}=\sqrt{3}+S_{\mbox{сеч.}},
S_{2}=S_{MB_{1}C_{1}N}+2S_{AKNC_{1}A_{1}}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle AKL}+S_{\mbox{сеч.}}=
=h-\frac{7\sqrt{3}}{16}+2\left(h-\frac{21\sqrt{3}}{128}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{64}+S_{\mbox{сеч.}}=3h-\frac{\sqrt{3}}{2}+S_{\mbox{сеч.}},
а так как S_{1}=S_{2}
, то
\sqrt{3}+S_{\mbox{сеч.}}=3h-\frac{\sqrt{3}}{2}+S_{\mbox{сеч.}},
откуда h=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Следовательно, если V
— объём призмы, то
V=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}.