8779. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r
и один шар радиуса \frac{3r}{2}
так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причём первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найдите радиус основания цилиндра, если его высота равна 4r
.
Ответ. \frac{3(17+10\sqrt{3})}{44}r
.
Решение. Через центры A
и B
шаров радиуса r
проведём плоскость \alpha
, перпендикулярную оси цилиндра. Пусть C'
— проекция на эту плоскость центра C
шара радиуса \frac{3}{2}r
. Тогда
CC'=4r-r-\frac{3}{2}r=\frac{3}{2}r,~AC'=\sqrt{AC^{2}-CC'^{2}}=\sqrt{\left(r+\frac{3}{2}r\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}r\right)^{2}}=2r.
Пусть радиус основания цилиндра равен R
. В сечении цилиндра плоскостью \alpha
получится окружность радиуса R
с центром O
, две окружности радиусов r
с центрами A
и B
, касающиеся между собой в некоторой точке E
и окружности сечения, а также окружность радиуса \frac{3}{2}r
с центром C'
, касающуюся окружности сечения внутренним образом в некоторой точке D
, причём AB=r+r=2r
и AC'=BC'=2r
.
Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, а также OA=OB=R-r
и C'A=C'B=2r
, точки O
, E
, C'
и D
лежат на одной прямой, причём EO+OC'=C'E
и C'E
— высота равностороннего треугольника со стороной 2r
. Тогда
OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(R-r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{R^{2}-2rR},
C'E=\frac{2r\sqrt{3}}{2}=\frac{r\sqrt{3}}{2},~OC'=OD-DC'=R-\frac{3}{2}r.
Следовательно, получаем уравнение
\sqrt{R^{2}-2rR}+R-\frac{3}{2}r=\frac{r\sqrt{3}}{2},
из которого находим, что
R=\frac{3r(7+4\sqrt{3})}{4(2\sqrt{3}+1)}=\frac{3(17+10\sqrt{3})}{44}r.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1997 билет 1, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 97-1-5, с. 365