8786. В правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
сторона основания AB
равна a
, боковое ребро AA_{1}
равно a\sqrt{2}
. Через точку A
параллельно прямой BD
проведена плоскость P
, образующая с прямой AB
угол, равный \frac{\pi}{6}
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью P
и радиус шара, касающегося плоскости P
и граней A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, ABB_{1}A_{1}
и ADD_{1}A_{1}
.
Ответ. a^{2}\sqrt{2}
, \frac{a\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1997, билет 8, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 97-8-5, с. 370