8803. Вписанные окружности граней
SBC
,
SAC
и
SAB
треугольной пирамиды
SABC
попарно пересекаются и имеют радиусы
\sqrt{3}
,
\sqrt{5}
и
\sqrt{7}
соответственно. Точка
K
является точкой касания окружностей со стороной
SA
, причём
SK=5
. Найдите длину отрезка
AK
, периметр и радиус вписанной окружности треугольника
ABC
.
Ответ. 7; 24;
\frac{\sqrt{14}}{2}
.
Решение. Заметим, что вписанные окружности треугольников
SBC
,
SAC
и
SAB
попарно касаются, причём точки касания лежат на боковых рёбрах пирамиды. Одна из них — точка
K
, а точки касания, лежащие на боковых рёбрах
SB
и
SC
обозначим через
L
и
M
соответственно. Пусть
D
,
E
и
F
— точки касания окружностей с рёбрами
AB
,
BC
и
AC
соответственно. Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны,
SL=SM=SK=5
. Обозначим
AK=AD=AF=x,~BL=BD=BE=y,~CM=CE=CF=z.

Записав площадь каждой из боковых граней по формуле Герона и по формуле
S=p\cdot r
, где
p
— полупериметр, а
r
— радиус вписанной окружности треугольника, получим систему уравнений
\syst{\sqrt{5(y+z+5)zy}=(y+z+5)\sqrt{3}\\\sqrt{5(x+y+5)xy}=(x+y+5)\sqrt{7}\\\sqrt{5(x+z+5)xz}=(x+z+5)\sqrt{5}.\\}

Поскольку
x\gt0
,
y\gt0
,
z\gt0
, задача сводится к решению системы
\syst{5zy=3(y+z+5)\\5xy=7(x+y+5)\\5xz=5(x+z+5).\\}

Выразим
y
и
z
через
x
из второго и третьего уравнений соответственно и подставим найденные выражения в первое:
\syst{5zy=3(y+z+5)\\y=\frac{7x+35}{5x-7}\\z=\frac{x+5}{x-1}\\}~\Leftrightarrow~\syst{\frac{5(x+5)}{x-1}\cdot\frac{7x+35}{5x-7}-3\left(\frac{7x+35}{5x-7}+\frac{x+5}{x-1}\right)=15\\y=\frac{7x+35}{5x-7}\\z=\frac{x+5}{x-1}.\\}

После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
19x^{2}-98x-245=0
, из которого находим, что
AK=x=7
. Тогда
BL=y=3
,
CM=z=2
. Следовательно, периметр треугольника
ABC
равен
2(x+y+z)=24
, полупериметр
p=12
,
S_{\triangle ABC}=\sqrt{12\cdot7\cdot3\cdot2}=6\sqrt{14}
, а радиус вписанной окружности
r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{\sqrt{14}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 2004, билет 5, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 04-5-6, с. 429