8803. Вписанные окружности граней SBC
, SAC
и SAB
треугольной пирамиды SABC
попарно пересекаются и имеют радиусы \sqrt{3}
, \sqrt{5}
и \sqrt{7}
соответственно. Точка K
является точкой касания окружностей со стороной SA
, причём SK=5
. Найдите длину отрезка AK
, периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. 7; 24; \frac{\sqrt{14}}{2}
.
Решение. Заметим, что вписанные окружности треугольников SBC
, SAC
и SAB
попарно касаются, причём точки касания лежат на боковых рёбрах пирамиды. Одна из них — точка K
, а точки касания, лежащие на боковых рёбрах SB
и SC
обозначим через L
и M
соответственно. Пусть D
, E
и F
— точки касания окружностей с рёбрами AB
, BC
и AC
соответственно. Поскольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, SL=SM=SK=5
. Обозначим
AK=AD=AF=x,~BL=BD=BE=y,~CM=CE=CF=z.
Записав площадь каждой из боковых граней по формуле Герона и по формуле S=p\cdot r
, где p
— полупериметр, а r
— радиус вписанной окружности треугольника, получим систему уравнений
\syst{\sqrt{5(y+z+5)zy}=(y+z+5)\sqrt{3}\\\sqrt{5(x+y+5)xy}=(x+y+5)\sqrt{7}\\\sqrt{5(x+z+5)xz}=(x+z+5)\sqrt{5}.\\}
Поскольку x\gt0
, y\gt0
, z\gt0
, задача сводится к решению системы
\syst{5zy=3(y+z+5)\\5xy=7(x+y+5)\\5xz=5(x+z+5).\\}
Выразим y
и z
через x
из второго и третьего уравнений соответственно и подставим найденные выражения в первое:
\syst{5zy=3(y+z+5)\\y=\frac{7x+35}{5x-7}\\z=\frac{x+5}{x-1}\\}~\Leftrightarrow~\syst{\frac{5(x+5)}{x-1}\cdot\frac{7x+35}{5x-7}-3\left(\frac{7x+35}{5x-7}+\frac{x+5}{x-1}\right)=15\\y=\frac{7x+35}{5x-7}\\z=\frac{x+5}{x-1}.\\}
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение 19x^{2}-98x-245=0
, из которого находим, что AK=x=7
. Тогда BL=y=3
, CM=z=2
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен 2(x+y+z)=24
, полупериметр p=12
, S_{\triangle ABC}=\sqrt{12\cdot7\cdot3\cdot2}=6\sqrt{14}
, а радиус вписанной окружности r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{\sqrt{14}}{2}
.