8807. Высота правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
(S
— вершина) в \sqrt{3}
раз больше ребра основания. Точка E
— середина апофемы, лежащей в грани ASB
. Найдите угол между прямой DE
и плоскостью ASC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть SH
— высота пирамиды, M
и N
— середины рёбер AB
и SA
соответственно (рис. 1). Положим AB=a
, SH=a\sqrt{3}
. На продолжении ребра CD
за точку D
отложим отрезок DP=\frac{1}{4}CD=\frac{1}{4}a
. Так как EN
— средняя линия треугольника ASM
, то NE\parallel AM\parallel DP
и NE=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}a=DP
, значит, четырёхугольник DPNE
— параллелограмм, поэтому PN=DE
и PN\parallel DE
. Следовательно, угол \varphi
между плоскостью ASC
и прямой DE
равен углу между между этой плоскостью и прямой PN
.
Плоскость ASC
проходит через прямую SH
, перпендикулярную к плоскости ABCD
, поэтому плоскости ASC
и ABCD
перпендикулярны, значит, перпендикуляр PQ
, опущенный из точки P
на прямую AC
, есть перпендикуляр к плоскости ASC
. Поэтому расстояние от точки P
до плоскости ASC
равно длине отрезка PQ
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника CPQ
находим, что
PQ=\frac{CP}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{5}{4}a}{\sqrt{2}}=\frac{5a}{4\sqrt{2}}.
Пусть F
— ортогональная проекция точки E
на плоскость основания пирамиды, K
— середина CD
. Тогда F
— середина HM
, поэтому
FK=\frac{3}{4}a,~EF=\frac{1}{2}SH=\frac{a\sqrt{3}}{2},
PN=DE=\sqrt{DK^{2}+KF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{9}{16}a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}=\frac{5}{4}a.
Из прямоугольного треугольника PQN
(рис. 2) находим, что
\sin\varphi=\sin\angle PNQ=\frac{PQ}{PN}=\frac{\frac{5a}{4\sqrt{2}}}{\frac{5}{4}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \varphi=45^{\circ}
.