8815. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
(S
— вершина) сторона основания равна 2\sqrt{3}
, высота пирамиды SH
равна 6. Через точку E
перпендикулярно прямой AS
проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH
в точке O
. Точки P
и Q
расположены на прямых AS
и CE
соответственно, причём прямая PQ
касается сферы радиуса \frac{\sqrt{5}}{2}
с центром в точке O
. Найдите наименьшую длину отрезка PQ
.
Ответ. PQ=5
.
Решение. Пусть диагонали AD
и CE
правильного шестиугольника ABCDEF
пересекаются в точке N
. Из свойств правильного шестиугольника следует, что N
— середина отрезков DH
и CE
и AD\perp CE
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CE\perp SA
, значит, прямая CE
лежит в плоскости, проходящей через точку E
перпендикулярно прямой SA
. Пусть эта плоскость пересекает прямую SA
в точке K
. Тогда
AH=AB=2\sqrt{3},~NH=\frac{1}{2}DH=\sqrt{3},~AN=NH+AH=3\sqrt{3},~
\tg\angle SAH=\frac{SH}{AH}=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3},~\angle SAH=60^{\circ},~NK=AN\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2},
ON=\frac{ON}{\cos30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2,~OK=NK-ON=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}.
.
Пусть прямая, проходящая через точки P
и Q
касается сферы в точке M
. Тогда OM\perp PQ
. Обозначим PK=x
, NQ=y
. Из прямоугольных треугольников NPK
, KOP
, MOP
, QNO
и NPQ
находим, что
OP^{2}=PK^{2}+OK^{2}=x^{2}+\frac{25}{4},~NP^{2}=PK^{2}+NK^{2}=x^{2}+\frac{81}{4},
MP^{2}=OP^{2}-OM^{2}=\left(x^{2}+\frac{25}{4}\right)-\frac{5}{4}=x^{2}+5,
QO^{2}=NQ^{2}+NO^{2}=y^{2}+4,~QM^{2}=QO^{2}-OM^{2}=(y^{2}+4)-\frac{5}{4}=y^{2}+\frac{11}{4},
PQ^{2}=NP^{2}+NQ^{2}=\left(x^{2}+\frac{81}{4}\right)+y^{2}=x^{2}+y^{2}+\frac{81}{4},
а так как PQ=PM+MQ
, то получим уравнение
\sqrt{x^{2}+5}+\sqrt{y^{2}+\frac{11}{4}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+\frac{81}{4}},
из которого находим, что y^{2}=\frac{625}{16(x^{2}+5)}-\frac{11}{4}
. Тогда
PQ^{2}=x^{2}+y^{2}+\frac{81}{4}=x^{2}+\frac{625}{16(x^{2}+5)}-\frac{11}{4}+\frac{81}{4}=x^{2}+5+\frac{625}{16(x^{2}+5)}+\frac{81}{4}-5=
=x^{2}+5+\frac{625}{16(x^{2}+5)}+\frac{35}{2}-5\geqslant2\sqrt{(x^{2}+5)\cdot\frac{625}{16(x^{2}+5)}}+\frac{25}{2}=\frac{25}{2}+\frac{25}{2}=25,
причём равенство достигается в случае, когда
x^{2}+5=\frac{625}{16(x^{2}+5)}~\Leftrightarrow~(x^{2}+5)^{2}=\frac{625}{16}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{5}{4}.
Следовательно, наименьшая длина отрезка PQ
равна 5.