8843. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— прямоугольник ABCD
со сторонами AB=2
и BC=4
. Высота OO_{1}
параллелепипеда равна 4 (O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно). Сфера радиуса 3 с центром на высоте OO_{1}
касается плоскости основания. Найдите сумму квадратов расстояний от точки, принадлежащей сфере, до всех вершин параллелепипеда при условии, что она максимальна.
Ответ. 200.
Решение. Докажем сначала, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки пространства до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин.
Действительно, пусть KLMN
— прямоугольник со сторонами KL=a
и MN=b
(рис. 1). Выберем прямоугольную систему координат, направив ось OX
по лучу KL
, ось OY
— по лучу KM
, а ось OZ
по лучу с началом в точке K
и перпендикулярному плоскости прямоугольника. Пусть P(x;y;z)
— произвольная точка пространства. Найдём квадраты расстояний от этой точки до вершин K(0;0;0)
, L(a;0;0)
, M(a;b;0)
и N(0;b;0)
:
PK^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
PL^{2}=(x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2},
PM^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2},
PN^{2}=(x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(z-0)^{2}=x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}.
Следовательно,
PK^{2}+PM^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})+\left((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=
=\left((x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\left(x^{2}+(y-b)^{2}+z^{2}\right)=PL^{2}+PN^{2}.
Что и требовалось доказать.
Выберем прямоугольную систему координат, приняв за начало координат центр O
основания ABCD
данного параллелепипеда (рис. 2). Ось OZ
направим по лучу OO_{1}
, ось OX
— по лучу OE
, где E
— середина ребра AD
, а ось OY
— по лучу OG
, где G
— середина ребра CD
. Тогда координаты точек A
и C_{1}
— A(1;-2;0)
, C_{1}(-1;2;4)
.
Пусть F(x;y;z)
— произвольная точка данной сферы. Тогда её координаты удовлетворяют уравнению сферы: x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}=9
, или x^{2}+y^{2}+z^{2}=6z
, причём 0\leqslant z\leqslant6
. Применяя доказанное выше утверждение к прямоугольникам ABCD
, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, AA_{1}C_{1}C
и точке F
, получим, что
FA^{2}+FB^{2}+FC^{2}+FD^{2}+FA_{1}^{2}+FB_{1}^{2}+FC_{1}^{2}+FD_{1}^{2}=
=(FA^{2}+FC^{2})+(FB^{2}+FD^{2})+(FA_{1}^{2}+FC_{1}^{2})+(FB_{1}^{2}+FD_{1}^{2})=
=2(FA^{2}+FC^{2})+2(FA_{1}^{2}+FC_{1}^{2})=2(FA^{2}+FC^{2}+FA_{1}^{2}+FC_{1}^{2})=
=2((FA^{2}+FC_{1}^{2})+(FC^{2}+FA_{1}^{2}))=2(2(FA^{2}+FC_{1}^{2}))=
=4(FA^{2}+FC_{1}^{2})=4((x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}+(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2})=
=4(2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-8z+26)=8(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z+13)=
=8(6z-4z+13)=8(2z+13)\leqslant8(12+13)=200,
причём равенство достигается для точки F_{1}(0;0;6)
, диаметрально противоположной точке O
.