8844. Докажите, что в параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда все грани параллелепипеда равновелики.
Решение. Необходимость. Предположим, что в параллелепипед можно вписать сферу. Тогда все его высоты равны диаметру этой сферы, а так как объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то все основания, т. е. грани параллелепипеда, равновелики.
Достаточность. Предположим, что все грани параллелепипеда равновелики. Тогда равны и все высоты параллелепипеда. Рассмотрим точку O
пересечения трёх плоскостей, каждая из которых равноудалена от плоскостей двух противоположных граней параллелепипеда. Точка O
равноудалена от плоскостей всех шести граней параллелепипеда и расположена внутри параллелепипеда. Значит, точка O
— центр сферы, касающейся плоскостей всех граней параллелепипеда, причём точка касания сферы с каждой из этих плоскостей лежит внутри грани, так как в противном случае, сфера пересекала бы плоскость другой грани (а не касалась её). Следовательно, O
— центр сферы, вписанной в параллелепипед.