8851. Вершина S
пирамиды SABC
находится на расстоянии 4 от центра сферы радиуса 1, которая проходит через точки A
, B
и C
и пересекает рёбра SA
, SB
, SC
соответственно в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
. Отношение длин отрезков B_{1}C_{1}
и BC
равно \frac{\sqrt{132}}{15}
, отношение площадей треугольников SA_{1}B_{1}
и SAB
равно \frac{22}{45}
, а отношение объёмов пирамид SA_{1}B_{1}C_{1}
и SABC
равно \frac{88}{225}
. Найдите длины отрезков SA_{1}
, SB_{1}
, SC_{1}
.
Ответ. \sqrt{10}
, \sqrt{11}
, \sqrt{12}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, M
и M_{1}
— точки пересечения прямой SO
со сферой (M
между O
и S
). Тогда
SA\cdot SA_{1}=SB\cdot SB_{1}=SC\cdot SC_{1}=SM\cdot SM_{1}=(SO-OM)(SO+OM_{1})=(4-1)(4+1)=15.
Кроме того,
\frac{S_{\triangle SA_{1}B_{1}}}{S_{\triangle SAB}}=\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{22}{45},
\frac{V_{SA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{SABC}}=\frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{88}{225}.
Поэтому
\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{\frac{88}{225}}{\frac{22}{45}}=\frac{4}{5}.
Перемножив почленно равенства SC\cdot SC_{1}=15
и \frac{SC_{1}}{SC}=\frac{4}{5}
, получим, что SC_{1}^{2}=12
. Тогда
SC=\frac{5}{4}SC_{1}=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{12}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.
Из подобия треугольников SBC
и SB_{1}C_{1}
следует, что \frac{SB_{1}}{SC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{\sqrt{132}}{15}
, откуда
SB_{1}=\frac{SC\sqrt{132}}{15}=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{132}}{15}=\sqrt{11}.
Тогда SB=\frac{15}{SB_{1}}=\frac{15}{\sqrt{11}}
. Поэтому \frac{SB_{1}}{SB}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{15}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{15}
, а так как \frac{SA_{1}}{SA}\cdot\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{88}{225}
, то
\frac{SA_{1}}{SA}=\frac{\frac{88}{225}}{\frac{SB_{1}}{SB}\cdot\frac{SC_{1}}{SC}}=\frac{\frac{88}{225}}{\frac{11}{15}\cdot\frac{4}{5}}=\frac{2}{3}.
Перемножив почленно равенства SA\cdot SA_{1}=15
и \frac{SA_{1}}{SA}=\frac{2}{3}
, получим, что SA_{1}^{2}=\frac{15\cdot2}{3}=10
. Следовательно, SA_{1}=\sqrt{10}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1973, вариант 1, № 4
Источник: Александров Б. И., Лурье М. В. Пособие по математике для поступающих в МГУ. — М.: Изд-во МГУ, 1977. — с. 229