8859. В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей h
, расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.
Ответ. Если h\lt2
, то S_{\min}=S(2)=16
; если h\geqslant2
, то S_{\min}=S(h)=\frac{4h^{2}}{h-1}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
. Центр полусферы совпадает с точкой O
, полусфера касается боковых граней в точках, лежащих на апофемах.
Пусть M
— середина стороны BC
квадрата ABCD
, K
— точка касания полусферы с боковой гранью PBC
. Тогда точка K
лежит на отрезке PM
, OK\perp PM
и OK=1
.
Обозначим высоту PO
пирамиды через x
, сторону основания — a
, угол боковой грани с плоскостью основания — \alpha
. Тогда
\angle POK=\angle PMO=\alpha,~OM=\frac{1}{2}a.
Из прямоугольного треугольника POK
находим, что \cos\alpha=\frac{OK}{OP}=\frac{1}{x}
. Тогда \sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}
. Из прямоугольного треугольника KOM
находим, что
\frac{a}{2}=OM=\frac{OK}{\sin\angle PMO}=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
тогда a=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}
.
Пусть S(x)
— площадь полной поверхности пирамиды. Тогда
S(x)=a^{2}+\frac{a^{2}}{\cos\alpha}=\left(\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)^{2}+\left(\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right)^{2}\cdot x=
=\frac{4x^{2}}{x^{2}-1}+\frac{4x^{3}}{x^{2}-1}=\frac{4x^{2}(1+x)}{x^{2}-1}=\frac{4x^{2}}{x-1}.
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции S(x)=\frac{4x^{2}}{x-1}
на промежутке [h;+\infty)
, где h\gt1
. Найдём производную этой функции и её критические точки, принадлежащие данному промежутку:
S'(x)=4\cdot\frac{2x(x-1)-x^{2}}{(x-1)^{2}}=\frac{4x(x-2)}{(x-1)^{2}}.
Если h\geqslant2
, то на данном промежутке критических точек нет, производная на этом промежутке положительна, значит, функция возрастает. Следовательно, S_{\min}=S(h)=\frac{4h^{2}}{h-1}
.
Если 1\lt h\lt2
, то на промежутке [h;+\infty)
есть одна критическая точка x=2
. При переходе через эту точку производная меняет знак с «-
» на «+», следовательно, точка x=2
— точка минимума. В этом случае S_{\min}=S(2)=16
. Это и есть наименьшее значение S(x)
на промежутке [h;+\infty)
при h\geqslant2
.