8860. В правильной треугольной пирамиде SABCD
с высотой, не меньшей h
, расположена полусфера радиуса r=\sqrt{3}
так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании ABC
пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение объёма пирамиды.
Ответ. Если h\leqslant3
, то V_{\min}=\frac{27\sqrt{3}}{2}
; если h\gt3
, то V_{\min}=\frac{3h^{3}\sqrt{3}}{h^{2}-3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МИФИ. — 2000, № 5, вариант 9