8861. В правильную треугольную пирамиду вписаны два шара. Первый шар радиуса r
касается основания пирамиды и её боковых граней. Второй шар касается первого шара внешним образом и также боковых граней пирамиды. Найдите сумму объёмов шаров, если объём пирамиды является минимально возможным.
Ответ. \frac{3}{2}\pi r^{3}
.
Решение. Пусть сторона основания ABC
данной правильной треугольной пирамиды равна a
, а высота PH
пирамиды равна h
. Ясно, что h\gt2r
, а первый шар касается боковой грани APB
в точке K
, лежащей на апофеме PM
, содержащейся в грани APB
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту PH
и апофему PM
, лежащую в боковой грани ABP
. Обозначим \angle PMH=\alpha
. Тогда
MH=\frac{a}{2\sqrt{3}},~\tg\alpha=\frac{PH}{MH}=\frac{h}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=\frac{2h\sqrt{3}}{a},
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{12h^{2}}{a^{2}}}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+12h^{2}}},
а так как центр шара лежит на высоте пирамиды и \angle POK=\angle PMH=\alpha
, то \frac{OK}{PO}=\cos\alpha
, или \frac{r}{h-r}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+12h^{2}}}
. Из этого уравнения находим, что a^{2}=\frac{12r^{2}h}{h-2r}
.
Пусть V(h)
— объём данной пирамиды с высотой h
. Тогда
V(h)=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PH=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{12r^{2}h}{h-2r}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{r^{2}h^{2}\sqrt{3}}{h-2r}.
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции V(x)=\frac{r^{2}h^{2}\sqrt{3}}{h-2r}
на промежутке (2r;+\infty)
. Найдём производную этой функции и её критические точки, принадлежащие данному промежутку:
V'(x)=r\sqrt{3}\cdot\frac{2h(h-2r)-h^{2}}{(h-2r)^{2}}=r^{2}\sqrt{3}\cdot\frac{h(h-4r)}{(h-2r)^{2}}.
Данному промежутку принадлежит одна критическая точка h=4r
. При переходе через эту точку производная меняет знак с «-
» на «+», значит, на промежутке (2r;4r)
функция убывает, а на промежутке (4r;+\infty)
— возрастает. Следовательно, h=4r
— точка минимума, т. е. при h=4r
пирамида имеет наименьший возможный объём.
Пусть Q
— центр второго шара, x
— радиус этого шара. Второй шар касается боковой грани APB
в некоторой точке L
, также лежащей на апофеме PM
. Из подобия треугольников PQL
и POK
следует, что \frac{QL}{OK}=\frac{PQ}{PO}
, или \frac{x}{r}=\frac{h-x-2r}{h-r}=\frac{2r-x}{3r}
, откуда находим, что x=\frac{r}{2}
. Следовательно, сумма объёмов шаров равна
\frac{4}{3}\pi r^{3}+\frac{4}{3}\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{3}=\frac{3}{2}\pi r^{3}.