8868. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
, точки M
и N
— середины рёбер SC
и SD
соответственно. Прямые SA
, BM
и CN
попарно перпендикулярны. Найдите объём пирамиды, если SA=a
, BM=b
, CN=c
.
Ответ. \frac{4}{9}abc
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Тогда OM
— средняя линия треугольника ASD
, поэтому
OM\parallel SA,~OM\perp BM,~OM\perp CN,~OM=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2},
а так как OM
— медиана треугольника BDM
и OM\perp BM
, то
S_{\triangle BDM}=2S_{\triangle BOM}=2\cdot\frac{1}{2}OM\cdot BM=OM\cdot BM=\frac{a}{2}\cdot b=\frac{ab}{2}.
Прямая CN
перпендикулярна двум пересекающимся прямым OM
и BM
плоскости BMD
, значит, прямая CN
перпендикулярна этой плоскости. Пусть K
— точка пересечения медиан CN
и DM
треугольника CAD
. Тогда CK=\frac{2}{3}CN=\frac{2c}{3}
, а так как CK
— высота треугольной пирамиды MBCD
с основанием BDM
, то
V_{MBCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle BDM}\cdot CK=\frac{1}{3}\cdot\frac{ab}{2}\cdot\frac{2c}{3}=\frac{abc}{9}.
Следовательно,
V_{SABCD}=2V_{ABCD}=2\cdot2V_{MBCD}=\frac{4}{9}abc.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1979, билет 10, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 79-10-6, с. 218
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 8.22, с. 75