8869. Точка M
— середина бокового ребра AA_{1}
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Прямые BD
, MD_{1}
и A_{1}C
попарно перпендикулярны. Найдите высоту параллелепипеда, если BD=2a
, BC=\frac{3}{2}a
, A_{1}C=4a
.
Ответ. 2a\sqrt{2}
.
Решение. Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B_{1}
, D_{1}
и M
(рис. 1). Прямая A_{1}C
перпендикулярна этой плоскости, поскольку A_{1}C\perp MD_{1}
и A_{1}C\perp B_{1}D_{1}
(так как A_{1}C\perp BD
, а B_{1}D_{1}\parallel BD
).
Пусть K
— центр параллелограмма A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Плоскости B_{1}MD_{1}
и ACC_{1}A_{1}
пересекаются по прямой MK
, значит, прямая A_{1}C
пересекает сечение B_{1}MD_{1}
в некоторой точке Q
, лежащей на отрезке MK
, причём \angle A_{1}QD_{1}=90^{\circ}
, так как прямая D_{1}Q
лежит в плоскости B_{1}MD_{1}
, перпендикулярной A_{1}C
.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ACC_{1}A_{1}
. Заметим, что MK
— средняя линия треугольника AA_{1}C
, а так как A_{1}O
— медиана этого треугольника, то Q
— общая середина отрезков A_{1}C
и MK
. Значит,
A_{1}Q=\frac{1}{2}A_{1}O=\frac{1}{4}A_{1}C=\frac{1}{4}\cdot4a=a.
Из прямоугольного треугольника A_{1}QD_{1}
находим, что
D_{1}Q=\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}-A_{1}Q^{2}}=\sqrt{BC^{2}-A_{1}Q^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}a^{2}-a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.
Заметим, что \angle MD_{1}B_{1}=90^{\circ}
, так как D_{1}M\perp BD
, а B_{1}D_{1}\parallel BD
. Значит, D_{1}Q
— медиана прямоугольного треугольника MD_{1}K
(рис. 2), проведённая из вершины прямого угла. Поэтому MK=2D_{1}Q=a\sqrt{5}
, а так как D_{1}K=\frac{1}{2}B_{1}D_{1}=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot2a=a
, то
D_{1}M=\sqrt{MK^{2}-D_{1}K^{2}}=\sqrt{5a^{2}-a^{2}}=2a.
Пусть V_{1}
— объём тетраэдра A_{1}B_{1}D_{1}M
. Поскольку A_{1}Q=a
— высота тетраэдра, а его основание — прямоугольный треугольник B_{1}D_{1}M
с катетами B_{1}D_{1}=D_{1}M=2a
, то
V_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}B_{1}D_{1}\cdot D_{1}M\cdot A_{1}Q=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot2a\cdot2a\cdot a=\frac{2}{3}a^{3}.
Поскольку площадь основания параллелепипеда вдвое больше площади основания A_{1}B_{1}D_{1}
тетраэдра, а высота параллелепипеда вдвое больше высоты тетраэдра, опущенной из вершины M
, объём V
параллелепипеда в 12 раз больше объёма тетраэдра, т. е.
V=12V_{1}=12\cdot\frac{2}{3}a^{3}=8a^{3}.
Через вершину C_{1}
параллелограмма A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведём прямую, параллельную диагонали B_{1}D_{1}
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением стороны A_{1}D_{1}
в точке P
. Тогда площадь параллелограмма A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна площади треугольника A_{1}C_{1}P
со сторонами C_{1}P=B_{1}D_{1}=2a
, A_{1}C=3a
и A_{1}P=2A_{1}D_{1}=2\cdot\frac{3}{2}a=3a
. Пусть A_{1}H
— высота этого равнобедренного треугольника. Тогда
A_{1}H=\sqrt{A_{1}C_{1}^{2}-\frac{1}{4}C_{1}P^{2}}=\sqrt{9a^{2}-a^{2}}=2a\sqrt{2}.
Поэтому
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{\triangle A_{1}C_{1}P}=\frac{1}{2}C_{1}P\cdot A_{1}H=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot2a\sqrt{2}=2a^{2}\sqrt{2}.
Пусть h
— искомая высота параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Тогда
h=\frac{V}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{8a^{3}}{2a^{2}\sqrt{2}}=2a\sqrt{2}.