8872. В тетраэдре ABCD
двугранные углы при рёбрах BC
и CD
прямые. Длина одного из рёбер тетраэдра в три раза больше длины не пересекающегося с ним ребра. Вершина конуса совпадает с одной из вершин тетраэдра, а окружность основания конуса описана около одной из граней. Найдите угол в осевом сечении конуса.
Ответ. \arccos\left(-\frac{1}{71}\right)=2\arctg\frac{6}{\sqrt{35}}
.
Решение. Плоскости граней ABC
и ADC
перпендикулярны плоскости грани BCD
и пересекаются по прямой AC
, значит, ребро AC
перпендикулярно плоскости грани BCD
. Поэтому \angle ACB=\angle ACD=90^{\circ}
.
Заметим, что вершина A
не может служить вершиной конуса, о котором говорится в условии задачи, так как рёбра, исходящие из этой вершины не равны между собой (AD\gt AC
, гипотенуза больше катета). Аналогично для вершин B
и D
. Следовательно, вершина конуса — точка C
.
Обозначим CA=CB=CD=a
. Тогда AB=AD=a\sqrt{2}
, значит, либо BD=3a
, либо BD=\frac{a}{3}
.
Предположим, что BD=3a
. Тогда
AD+AB=a\sqrt{2}+a\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\lt3a=BD,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, BD=\frac{a}{3}
.
Пусть M
— середина основания BD
равнобедренного треугольника BAD
, AA_{1}
— диаметр окружности. Обозначим \angle ABD=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{BD}{2AB}=\frac{\frac{a}{3}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{6\sqrt{2}},~\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{72}}=\frac{\sqrt{71}}{6\sqrt{2}}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABD
(радиус основания конуса), O
— центр окружности, \varphi
— угол в осевом сечении конуса. По теореме синусов
R=\frac{AD}{2\sin\alpha}=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{71}}{3\sqrt{2}}}=\frac{6a}{\sqrt{71}}.
По теореме косинусов
\cos\varphi=\frac{AC^{2}+A_{1}C^{2}-AA_{1}^{2}}{2AC\cdot A_{1}C}=\frac{AC^{2}+AC^{2}-(2R)^{2}}{2AC\cdot AC}=\frac{2AC^{2}-4R^{2}}{2AC^{2}}=\frac{2a^{2}-\frac{144a^{2}}{71}}{2a^{2}}=-\frac{1}{71}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1979, билет 2, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 79-2-5, с. 212