8875. Длина ребра куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равна a
. Точка P
— середина ребра CC_{1}
, точка Q
— центр грани AA_{1}B_{1}B
. Отрезок MN
с концами на прямых AD
и A_{1}B_{1}
пересекает прямую PQ
и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка.
Ответ. \frac{a\sqrt{29}}{3}
.
Решение. Рассмотрим скрещивающиеся прямые AD
и A_{1}B_{1}
. Пусть точка X
лежит на прямой AD
, а точка Y
— на прямой A_{1}B_{1}
. Известно, что геометрическое место середин отрезков XY
есть плоскость, параллельная прямым AD
и A_{1}B_{1}
и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка. В нашем случае это плоскость \gamma
, проходящая через середину K
отрезка AA_{1}
параллельно грани ABCD
куба (рис. 1). В этой плоскости лежат точки P
и Q
. По условию задачи точка E
пересечения прямой MN
с плоскостью \gamma
— середина отрезка MN
.
Рассмотрим ортогональную проекцию куба на плоскость \gamma
. Получим квадрат KLPF
, где K
, L
и F
— проекции точек A
, D
и B
соответственно. Пусть M'
и N'
— проекции точек M
и N
(рис. 2). По теореме о трёх перпендикулярах M'N'\perp PQ
, а так как ME=NE
, то M'E=N'E
.
Обозначим M'E=N'E=x
, \angle KN'M'=\angle QPF=\alpha
. Из прямоугольных треугольников PQF
и KN'M'
находим, что
PQ=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~\cos\alpha=\frac{PF}{PQ}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}},
KN'=M'N'\cos\alpha=2x\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4x}{\sqrt{5}}.
Тогда QN'=KN'-KQ=\frac{4x}{\sqrt{5}}-\frac{a}{2}
. С другой стороны QN'=\frac{EN'}{\cos\alpha}=\frac{x}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{x\sqrt{5}}{2}
. Из уравнения
\frac{4x}{\sqrt{5}}-\frac{a}{2}=\frac{x\sqrt{5}}{2}
находим, что M'E=N'E=x=\frac{a\sqrt{5}}{3}
. Наконец, из прямоугольного треугольника MM'E
находим, что
ME=\sqrt{MM'^{2}+M'E^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{5}}{3}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{29}}{6}.
Следовательно, MN=\frac{a\sqrt{29}}{3}
.