8876. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD
равна a
. Точка E
— середина ребра CD
, точка F
— середина высоты BL
грани ABD
. Отрезок MN
с концами на прямых AD
и BC
пересекает прямую EF
и перпендикулярен ей. Найдите длину этого отрезка.
Ответ. \frac{a\sqrt{23}}{6}
.
Решение. Рассмотрим скрещивающиеся прямые AD
и BC
. Пусть точка X
лежит на прямой AD
, а точка Y
— на прямой BC
. Известно, что геометрическое место середин отрезков XY
есть плоскость, параллельная прямым AD
и BC
и проходящая через середину какого-нибудь такого отрезка. В нашем случае это плоскость \gamma
, проходящая через середину E
отрезка CD
параллельно рёбрам AD
и BC
тетраэдра (рис. 1). В этой плоскости лежит точка F
. По условию задачи точка P
пересечения прямой MN
с плоскостью \gamma
— середина отрезка MN
.
Рассмотрим ортогональную проекцию тетраэдра на плоскость \gamma
(рис. 2). Получим квадрат A'B'D'C'
, где A'
, B'
, D'
и C'
— проекции точек A
, B
, D
и C
соответственно. Пусть M'
, N'
и L'
— проекции точек M
, N
и L
. По теореме о трёх перпендикулярах M'N'\perp EF
, а так как MP=NP
, то M'P=N'P
.
Пусть Q
— основание перпендикуляра, опущенного из точки E
на B'C'
. Тогда
EQ=\frac{1}{2}DL=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{a}{4},~FQ=FL+LQ=\frac{1}{2}B'L+\frac{1}{2}C'L=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a}{2}.
Обозначим M'P=N'P=x
, \angle LM'N'=\angle EFQ=\alpha
. Из прямоугольных треугольников EFQ
и LN'M'
находим, что
\tg\alpha=\frac{EQ}{FQ}=\frac{\frac{a}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2},~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{2}{\sqrt{5}},
LM'=M'N'\cos\alpha=2x\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4x}{\sqrt{5}}.
Пусть отрезки EF
и D'L
пересекаются в точке T
. Тогда
LT=FL\tg\alpha=\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{a}{8},M'T=\frac{M'P}{\cos\alpha}=\frac{x}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{x\sqrt{5}}{2},
а так как LM'=LT+M'T
, то
\frac{4x}{\sqrt{5}}=\frac{a}{8}+\frac{x\sqrt{5}}{2},
откуда M'P=x=\frac{a\sqrt{5}}{12}
.
Расстояние от точки M
до плоскости \gamma
вдвое меньше, чем расстояние между противоположными рёбрами правильного тетраэдра ABCD
, т. е.
MM'=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}.
Из прямоугольного треугольника MM'P
находим, что
MP=\sqrt{MM'^{2}+M'P^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{5}}{12}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{23}}{12}.
Следовательно, MN=\frac{a\sqrt{23}}{6}
.