8883. Даны правильная четырёхугольная пирамида SABCD
и конус, центр основания которого лежит на прямой SO
(SO
— высота пирамиды). Точка E
— середина ребра SD
, точка F
лежит на ребре AD
, причём AF=\frac{3}{2}FD
. Треугольник, являющийся одним из осевых сечений конуса, расположен так, что две его вершины лежат на прямой CD
, а третья — на прямой EF
. Найдите объём конуса, если AB=4
, SO=3
.
Ответ. \frac{343\sqrt{13}}{18}\pi
.
Решение. Пусть K
и M
— вершины осевого сечения конуса, лежащие на прямой CD
. Тогда отрезок KM
не может быть диаметром основания конуса, так как в противном случае точки K
и M
были бы симметричны относительно центра Q
основания, лежащего на прямой SO
, а прямые CD
и SO
— скрещивающиеся. Следовательно, одна из точек M
и K
— вершин конуса. Предположим, что это точка M
. Тогда ML
и MK
— образующие конуса, а MQ
— его высота.
Рассмотрим всевозможные отрезки, один конец которых лежит на прямой CD
, а середина — на прямой SO
. Геометрическое место вторых концов таких отрезков есть плоскость \gamma
, проходящая через точку A
, параллельно прямым CD
и SO
. Точка L
лежит в этой плоскости, поскольку Q
— середина KL
. Точка L
лежит на прямой EF
, поэтому FL
— наклонная к плоскости \gamma
, а AL
— ортогональная проекция этой наклонной на плоскость \gamma
.
Плоскость ASD
перпендикулярна плоскости \gamma
, так как она проходит через прямую AD
, перпендикулярную плоскости \gamma
. Поэтому перпендикуляр ET
, опущенный из точки E
на прямую AL
пересечения этих плоскостей, есть перпендикуляр к плоскости \gamma
. Значит, T
— проекция точки E
на плоскость \gamma
.
Пусть H
— середина AD
. Из прямоугольного треугольника SOH
находим, что
SH=\sqrt{SO^{2}+OH^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Если R
— проекция точки S
на плоскость \gamma
, то AR=SH
, а T
— середина AR
, поэтому AT=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}\sqrt{13}
. Из подобия прямоугольных треугольников AFL
и TEL
следует, что \frac{LA}{LT}=\frac{FA}{ET}
, а так как
LT=LA+AT=LA+\frac{1}{2}\sqrt{13},~ET=AH+\frac{1}{2}AH=2+1=3,~AF=\frac{3}{5}AD=\frac{3}{5}\cdot4=\frac{12}{5},
то \frac{LA}{LA+\frac{1}{2}\sqrt{13}}=\frac{\frac{12}{5}}{3}=\frac{4}{5}
, откуда находим, что LA=2\sqrt{13}
.
Пусть L_{1}
— проекция точки L
на плоскость основания ABCD
пирамиды. Плоскости ABCD
и \gamma
перпендикулярны, так как плоскость ABCD
проходит через прямую AD
, перпендикулярную плоскости \gamma
. Поэтому точка L_{1}
лежит на прямой пересечения этих плоскостей, т. е. на прямой AB
. Точка P
— проекция середины Q
отрезка LK
на плоскость ABCD
, значит, точка P
— середина проекции L_{1}K
отрезка LK
на эту плоскость.
Пусть K_{1}
— основание перпендикуляра, опущенного из точки K
на прямую AB
. Тогда
BK_{1}=CK=AL_{1}=4,~L_{1}K_{1}=12,~L_{1}K=\sqrt{L_{1}K_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10},
Из прямоугольных треугольников ALL_{1}
и KLL_{1}
находим, что
LL_{1}=\sqrt{LA^{2}-AL_{1}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-4^{2}}=\sqrt{52-16}=6,
KL=\sqrt{LL_{1}^{2}+L_{1}K^{2}}=\sqrt{36+160}=\sqrt{196}=14.
Отрезок OQ
— средняя линия треугольника KLL_{1}
, поэтому
OQ=\frac{1}{2}LL_{1}=3,~QL=QK=\frac{1}{2}KL=7.
Пусть P
— середина стороны CD
. В треугольнике SPQ
высота PO
является медианой (OQ=OS=3
), поэтому QP=SP=SH=\sqrt{13}
. По теореме о трёх перпендикулярах QP\perp MK
. Рассмотрим прямоугольный треугольник MQK
, в котором QK=7
, высота QP
, проведённая из вершины прямого угла, равна \sqrt{13}
, а PK=PC+CK=2+4=6
. Поскольку MP=\frac{QP^{2}}{PK}=\frac{13}{6}
,
MQ=\sqrt{QP^{2}+MP^{2}}=\sqrt{13+\frac{169}{36}}=\frac{7}{6}\sqrt{13}.
Если h
— высота конуса, r
— радиус его основания, а V
— объём, то r=QK=7
и h=MQ=\frac{7}{6}\sqrt{13}
. Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot49\cdot\frac{7}{6}\sqrt{13}=\frac{343\sqrt{13}}{18}\pi.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1990, билет 6, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 90-6-5, с. 304