8887. В прямой круговой конус вписана правильная треугольная пирамида, апофема которой равна k
, а боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный \alpha
. Через одно из боковых рёбер пирамиды проведена плоскость, пересекающая коническую поверхность. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь имеет наибольшее из всех возможных значение.
Ответ. k^{2}\sin2\alpha
, если \arctg2\leqslant\alpha\lt\frac{\pi}{2}
;
\frac{1}{2}k^{2}(1+3\cos^{2}\alpha)
, если 0\lt\alpha\lt\arctg2
.
Решение. Пусть SO
— высота правильной пирамиды SABC
с основанием ABC
. Тогда SO
— высота конуса, а боковые рёбра пирамиды — образующие конуса. Если M
— середина ребра AB
, то SM=k
— апофема пирамиды, а \angle OMS=\alpha
— величина линейного угла двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания.
Учитывая, что OA=2OM
, из прямоугольных треугольников OMS
и AOS
находим, что
SO=SM\sin\alpha=k\sin\alpha,~MO=SM\cos\alpha=k\cos\alpha,
\tg\angle OAS=\frac{SO}{OA}=\frac{k\sin\alpha}{2k\cos\alpha}=\frac{1}{2}\tg\alpha,~\angle ASO=\frac{\pi}{2}-\angle OAS,
SA=\sqrt{SO^{2}+AO^{2}}=\sqrt{k^{2}\sin^{2}\alpha+4k^{2}\cos^{2}\alpha}=k\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его образующую, есть равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны k\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}
. Если угол при его вершине равен \varphi
, а площадь треугольника равна S(\varphi)
, то S(\varphi)=\frac{1}{2}k^{2}(1+\cos^{2}\alpha)\sin\varphi
. Таким образом, для нахождения наибольшего значения этой площади нужно найти наибольшее значение \sin\varphi
.
Если угол при вершине осевого сечения меньше \frac{\pi}{2}
, то в силу возрастания функции \sin\varphi
на промежутке (0;\frac{\pi}{2})
, наибольшее значение \sin\varphi
достигается при наибольшем значении \varphi
, т. е. если \angle OAS\lt\frac{\pi}{4}
, или \arctg\left(\frac{1}{2}\tg\alpha\right)\lt\frac{\pi}{4}
. Это означает, что \tg\alpha\lt2
. В этом случае
S_{\max}=S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}SA^{2}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}k^{2}(1+3\cos^{2}\alpha)\cdot1=\frac{1}{2}k^{2}(1+3\cos^{2}\alpha).
Если же угол при вершине осевого сечения не меньше \frac{\pi}{2}
, а это имеет место при \tg\alpha\geqslant2
, то наибольшую площадь имеет осевое сечение:
S_{\max}=OA\cdot SO=2OM\cdot OS=k\cos\alpha\cdot k\sin\alpha=k^{2}\sin2\alpha.