8890. Через середину ребра BC
правильной треугольной пирамиды SABC
(S
— вершина) проведены плоскости \alpha
и \beta
, каждая из которых образует угол \arctg\frac{1}{2}
с плоскостью ABC
. Найдите площади сечений пирамиды SABC
плоскостями \alpha
и \beta
, если эти сечения имеют общую сторону длины 3, лежащую в грани ABC
, а плоскость \alpha
перпендикулярна ребру SC
.
Ответ. \frac{9}{2}\sqrt{\frac{3}{5}}
, 8\sqrt{\frac{5}{3}}
.
Указание. Сечения — треугольник и трапеция; AB=6
; средняя линия треугольника ABC
— общее основание треугольника и трапеции; другое основание трапеции равно 5; высота треугольника равна 3\sqrt{\frac{3}{5}}
, высота трапеции равна 2\sqrt{\frac{5}{3}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 3, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-3-5, с. 329