8892. Основание прямой призмы KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
— ромб KLMN
с углом 60^{\circ}
при вершине K
. Точки E
и F
— середины рёбер LL_{1}
и LM
призмы. Ребро SA
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
(S
— вершина) лежит на прямой LN
, вершины D
и B
— на прямых MM_{1}
и EF
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB
.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{4}
.
Решение. Прямая LN
перпендикулярна двум пересекающимся прямым KM
и LL_{1}
плоскости MM_{1}K_{1}K
, поэтому прямая LN
перпендикулярна этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно NL
(или совпадающей с ней прямой SA
), лежит в плоскости MM_{1}K_{1}K
.
Известно, что боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярно, скрещивающейся с ним диагонали основания. Кроме того, если прямая l
и плоскость \alpha
перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l
либо лежит в плоскости \alpha
, либо параллельна ей.
Скрещивающиеся прямые SA
и BD
перпендикулярны и плоскость MM_{1}K_{1}K
перпендикулярна прямой SA
, поэтому прямая BD
либо лежит в плоскости MM_{1}K_{1}K
, либо параллельна ей. Второй случай исключается, так как по условию задачи точка D
лежит на прямой MM_{1}
, т. е. является общей точкой прямой BD
и плоскости MM_{1}K_{1}K
. Значит, прямая BD
лежит в плоскости MM_{1}K_{1}K
. В то же время, точка B
лежит в плоскости MM_{1}L_{1}L
, так как она лежит на прямой EF
этой плоскости. Следовательно, точка B
лежит на прямой MM_{1}
пересечения плоскостей MM_{1}K_{1}K
и MM_{1}L_{1}L
. Тогда M
— середина диагонали основания ABCD
пирамиды.
Тогда MP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA
и BD
. Обозначим AB=a
. Тогда
SA=2a,~AM=MD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2},~SM=\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}},
MP=\frac{AM\cdot SM}{SA}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{2a}=\frac{a\sqrt{7}}{4},
LP=MP\tg\angle LMP=MP\tg30^{\circ}=\frac{a\sqrt{7}}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{7}}{4\sqrt{3}},
S_{KLMN}=\frac{1}{2}KM\cdot LN=\frac{1}{2}\cdot2MP\cdot2LP=2MP\cdot LP=2\cdot\frac{a\sqrt{7}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}=\frac{7a^{2}}{8\sqrt{3}}.
Из равенства треугольников BMF
и ELF
следует, что EL=MB=MD=\frac{a}{\sqrt{2}}
, поэтому LL_{1}=2EL=a\sqrt{2}
.
Пусть V_{1}
и V_{2}
— объёмы призмы KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
и пирамиды SABCD
. Тогда
V_{1}=S_{KLMN}\cdot LL_{1}=\frac{7a^{2}}{8\sqrt{3}}\cdot a\sqrt{2}=\frac{7a^{3}\sqrt{2}}{8\sqrt{3}},
V_{2}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SM=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{7a^{3}\sqrt{2}}{8\sqrt{3}}}{\frac{a^{3}\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 5, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-5-5, с. 331