8894. Точки P
и Q
— середины рёбер KL
и LM
правильной треугольной призмы KLMK_{1}L_{1}M_{1}
. Ребро SB
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
(S
— вершина) лежит на прямой QK
, а вершины A
и C
— на прямых K_{1}P
и LL_{1}
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=5AB
.
Ответ. \frac{21\sqrt{3}}{100}
.
Указание. SB\perp AC
\Rightarrow
C\in(LML_{1})
\Rightarrow
A\in LL_{1}
, AL=LL_{1}
, C=L_{1}
; пусть LL_{1}=b
\Rightarrow
AC=2b
, AB=b\sqrt{2}
, SL=7b
, QL\perp AC
и QL\perp SB
\Rightarrow
QL\cdot SB=SL\cdot BL
, QL=\frac{7b\sqrt{2}}{10}
, ML=\frac{7b\sqrt{2}}{5}
, V_{\mbox{пр.}}=\frac{49b^{3}\sqrt{3}}{50}
, V_{\mbox{пир.}}=\frac{14b^{3}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 7, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-7-5, с. 333