8895. Основание прямой призмы PQRP_{1}Q_{1}R_{1}
— треугольник PQR
, в котором \angle PQR=90^{\circ}
, PQ:QR=1:3
. Точка K
— середина катета PQ
и LM
призмы. Ребро AB
правильной треугольной пирамиды ABCD
(A
— вершина) лежит на прямой PR
, вершины C
и D
— на прямых P_{1}K
и QQ_{1}
соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3
.
Ответ. \frac{15\sqrt{3}}{8}
.
Указание. AB\perp CD
\Rightarrow
C\in(TQD)
, где PQ\perp PR
\Rightarrow
C\in QQ_{1}
, CQ=QQ_{1}
, QT\perp CD
\Rightarrow
D=Q_{1}
; пусть PQ=x
, AB=2y
\Rightarrow
QR=3x
, TQ=\frac{3x}{\sqrt{10}}
, CD=3y
, TQ\cdot AB=AO\cdot BQ
, где AO
— высота пирамиды; AO=y
\Rightarrow
TQ=\frac{3y\sqrt{3}}{4}
\Rightarrow
x=\frac{y\sqrt{30}}{4}
, V_{\mbox{пр.}}=\frac{135y^{3}}{32}
, V_{\mbox{пир.}}=\frac{3y^{3}\sqrt{3}}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 8, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-8-5, с. 334