8897. Внутри правильной четырёхугольной пирамиды расположена прямая призма KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
, в основании которой лежит ромб KLMN
с углом 60^{\circ}
при вершине L
. Ребро KK_{1}
принадлежит основанию пирамиды, а ребро LL_{1}
— диагонали этого основания. Какой наибольший объём может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна \sqrt{3}
?
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{9}
.
Указание. Пусть a
и H
— ребро основания и высота пирамиды, \alpha
— острый угол ромба, h
— высота призмы, y
— ребро её основания. Пусть плоскость верхнего основания призмы делит высоту пирамиды в отношении x:(1-x)
, считая от вершины. Тогда V=y^{2}\sin\alpha\cdot h
, где y\sin\alpha=H\cdot(1-x)
, \frac{h}{2}+y+y\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{2}}x
, \frac{h}{2}+\frac{3}{2}y=3x
, y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(1-x)~\Rightarrow~x=1-\frac{y}{2}
, h=6-6y
, V=3\sqrt{3}(y^{2}-y^{3})
, y_{0}=\frac{2}{3}
.