8898. Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боковой грани пирамиды. Какой наибольший объём может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 1?
Ответ. \frac{16}{75\sqrt{3}}
.
Указание. Пусть a
и H
— ребро основания и высота пирамиды, \alpha
— острый угол ромба, h
— высота призмы, y
— ребро её основания. Пусть плоскость верхнего основания призмы делит высоту пирамиды в отношении x:(1-x)
, считая от вершины. Тогда V=y^{2}\sin\alpha\cdot h
, где y\sin\alpha=H\cdot(1-x)
, h=ax-\frac{2}{\sqrt{3}}y
, h=2x-\frac{2}{\sqrt{3}}y
, y\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=1-x
, h=2-\frac{5}{\sqrt{3}}y
, V=\sqrt{3}y^{2}-\frac{5}{2}y^{3}
, y_{0}=\frac{4}{5\sqrt{3}}\gt0
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1993, билет 11, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 93-11-5, с. 336