8900. Основание пирамиды — квадрат. Высота пирамиды пересекает диагональ основания. Найдите наименьший объём такой пирамиды, если периметр диагонального сечения, содержащего высоту пирамиды, равен 5.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Лемма. Из всех треугольников с заданными основанием и периметром наибольшую площадь (а значит, и высоту) имеет равнобедренный.
Доказательство. Пусть x
, y
и z
— стороны треугольника, z
— его заданная сторона, S
— площадь, p=\frac{x+y+z}{2}
— заданный полупериметр треугольника. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-z)(p-x)(p-y)}=\sqrt{p(p-z)}\cdot\sqrt{(p-x)(p-y)}=k\sqrt{(p-x)(p-y)},
где k=\sqrt{p(p-z)}
— фиксированная величина. Тогда
S=k\sqrt{(p-x)(p-y)}\leqslant k\cdot\frac{(p-x)+(p-y)}{2}=k\cdot\frac{2p-x-y}{2}=\frac{kz}{2},
причём равенство достигается, если p-x=p-y
, т. е., если x=y
, что и требовалось доказать.
Пусть основание пирамиды PABCD
— квадрат ABCD
со стороной a
, основание H
высоты PH
пирамиды лежит на диагонали AC
основания, а периметр диагонального сечения APC
равен 5. Тогда объём пирамиды максимален, если максимальна её высота PH
, а так как периметр треугольника равен 5, то по лемме максимальную высоту имеет равнобедренный треугольник, значит, при фиксированном a
, наибольший объём имеет пирамида, у которой AP=CP=\frac{5-a\sqrt{2}}{2}
.
Пусть V(a)
— этот объём. Тогда
V(a)=\frac{1}{3}AB^{2}\cdot PH=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{5-a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{6}a^{2}\sqrt{5-2a\sqrt{2}}.
Найдём a
при котором достигается наибольшее значение положительной функции f(a)=V^{2}(a)=\frac{5}{36}a^{4}(5-2a\sqrt{2})
на луче (0;+\infty)
:
f'(a)=\frac{5}{36}(4a^{3}(5-2a\sqrt{2})-2a^{4}\sqrt{2})=\frac{25\sqrt{2}}{18}a^{3}(\sqrt{2}-a).
Лучу (0;+\infty)
принадлежит единственная критическая точка a=\sqrt{2}
этой функции, причём при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-
». Следовательно, a=\sqrt{2}
— точка максимума. Тогда и функция V(a)
принимает в этой точке наибольшее значение, которое равно
V(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{5}}{6}\cdot2\sqrt{5-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.