8901. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC
так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найдите объём пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, \angle ABS=\frac{\pi}{2}
, \angle BSC=\frac{\pi}{12}
, \angle SCB=\frac{\pi}{4}
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. По формуле \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}
находим, что
\ctg\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3},~\ctg\frac{5\pi}{12}=2-\sqrt{3}.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что общая образующая конуса и грани пирамиды является высотой этой грани, значит, основание конуса не может лежать в гранях ABC
, BSC
и ABS
, так как в первых двух случаях высоты граней (т. е. образующие конуса) совпадают с рёбрами SB
и AB
соответственно, а в третьем — высота не лежит в грани, так как треугольник тупоугольный (\angle CBS=\frac{2\pi}{3}
), поэтому его высота, проведённая из вершины C
, не лежит в грани SCB
. Таким образом, основание конуса — круг, вписанный в треугольник ASC
.
Пусть O
— центр этого круга, K
, L
и M
— точки касания со сторонами AS
, CS
и AC
соответственно, OK=OL=OM=r
— радиус круга, p
— полупериметр треугольника ASC
, s
— площадь. Из равенства треугольников BKS
и BLS
следует, что \angle KSB=\angle LSB=\frac{\pi}{12}
. Тогда
\angle BAM=\angle BAK=\frac{\pi}{2}-\angle ASB=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.
Из прямоугольных треугольников BLC
, BLS
и AMB
находим, что
LC=BL\ctg\angle SCB=BL\ctg\frac{\pi}{4}=1\cdot1=1,
LS=BL\ctg\angle BSC=BL\ctg\frac{\pi}{12}=1\cdot(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3},
AM=BM\ctg\angle BAM=BM\ctg\frac{5\pi}{12}=1\cdot(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}.
Тогда
SK=SL=2+\sqrt{3},~AK=AM=2-\sqrt{3},~CM=CL=1,
AC=AM+MC=3-\sqrt{3},~AS=AK+KS=4,~CS=CL+LS=3+\sqrt{3},
p=CL+SK+AM=1+(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=5,
s=\sqrt{p(p-CS)(p-AS)(p-AC)}=\sqrt{5(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\cdot1}=\sqrt{5},
r=\frac{s}{p}=\frac{\sqrt{5}}{5}.
Из прямоугольного треугольника BOK
находим, что
BO=\sqrt{BK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}s\cdot BO=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{3}.