8901. Конус расположен внутри треугольной пирамиды
SABC
так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найдите объём пирамиды, если длина образующей конуса равна 1,
\angle ABS=\frac{\pi}{2}
,
\angle BSC=\frac{\pi}{12}
,
\angle SCB=\frac{\pi}{4}
.
Ответ.
\frac{2}{3}
.
Решение. По формуле
\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}
находим, что
\ctg\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3},~\ctg\frac{5\pi}{12}=2-\sqrt{3}.

Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что общая образующая конуса и грани пирамиды является высотой этой грани, значит, основание конуса не может лежать в гранях
ABC
,
BSC
и
ABS
, так как в первых двух случаях высоты граней (т. е. образующие конуса) совпадают с рёбрами
SB
и
AB
соответственно, а в третьем — высота не лежит в грани, так как треугольник тупоугольный (
\angle CBS=\frac{2\pi}{3}
), поэтому его высота, проведённая из вершины
C
, не лежит в грани
SCB
. Таким образом, основание конуса — круг, вписанный в треугольник
ASC
.
Пусть
O
— центр этого круга,
K
,
L
и
M
— точки касания со сторонами
AS
,
CS
и
AC
соответственно,
OK=OL=OM=r
— радиус круга,
p
— полупериметр треугольника
ASC
,
s
— площадь. Из равенства треугольников
BKS
и
BLS
следует, что
\angle KSB=\angle LSB=\frac{\pi}{12}
. Тогда
\angle BAM=\angle BAK=\frac{\pi}{2}-\angle ASB=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.

Из прямоугольных треугольников
BLC
,
BLS
и
AMB
находим, что
LC=BL\ctg\angle SCB=BL\ctg\frac{\pi}{4}=1\cdot1=1,

LS=BL\ctg\angle BSC=BL\ctg\frac{\pi}{12}=1\cdot(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3},

AM=BM\ctg\angle BAM=BM\ctg\frac{5\pi}{12}=1\cdot(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}.

Тогда
SK=SL=2+\sqrt{3},~AK=AM=2-\sqrt{3},~CM=CL=1,

AC=AM+MC=3-\sqrt{3},~AS=AK+KS=4,~CS=CL+LS=3+\sqrt{3},

p=CL+SK+AM=1+(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=5,

s=\sqrt{p(p-CS)(p-AS)(p-AC)}=\sqrt{5(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\cdot1}=\sqrt{5},

r=\frac{s}{p}=\frac{\sqrt{5}}{5}.

Из прямоугольного треугольника
BOK
находим, что
BO=\sqrt{BK^{2}-OK^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}s\cdot BO=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{3}.

Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1991, билет 1, № 5
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 91-1-5, с. 307