8913. В правильной треугольной пирамиде SABC
(S
— вершина) точки D
и E
являются серединами рёбер AC
и BC
соответственно. Через точку E
проведена плоскость \beta
, пересекающая рёбра AB
и SB
и удалённая от точек D
и B
на одинаковое расстояние, равное \frac{1}{2}
. Найдите длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB
, если BC=4
, SC=3
.
Ответ. \frac{12}{5}
, \frac{3}{5}
.
Решение. Поскольку плоскость \beta
пересекает ребро AB
, точки A
и B
расположены по разные стороны от неё. Аналогично для точек B
и C
. Поэтому точки A
и C
(а значит, и все точки ребра AC
) лежат по одну сторону от \beta
, а точка B
— по другую. Таким образом, отрезок BD
пересекается с плоскостью \beta
в некоторой точке M
(рис. 1).
Пусть B_{1}
и D_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно B
и D
на плоскость \beta
(рис. 2), а плоскость \beta
пересекает ребро AB
в точке N
. Тогда точка M
принадлежит проекции B_{1}D_{1}
отрезка BD
на плоскость \beta
. Из равенства прямоугольных треугольников BMB_{1}
и DMD_{1}
(по катету и прилежащему острому углу) следует, что M
— середина BD
, а т. е. прямая EM
пересекает ребро AB
в точке N
и EM\parallel AC
, то N
— середина ребра AB
.
Пусть плоскость \beta
пересекает ребро SB
в точке K
. Тогда KM
— медиана и высота равнобедренного треугольника EKN
, а так как NB_{1}=EB_{1}
(как проекции равных наклонных BN
и BE
на плоскость \beta
, то точка B_{1}
лежит на KM
.
Пусть SH
— высота пирамиды. Обозначим \angle SBH=\alpha
, \angle KMB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников SBH
и BB_{1}M
находим, что
\cos\alpha=\frac{BH}{BS}=\frac{\frac{2}{3}BD}{BS}=\frac{4\sqrt{3}}{9},~\sin\gamma=\frac{BB_{1}}{BM}=\frac{BB_{1}}{\frac{1}{2}BD}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{48}{81}}=\frac{\sqrt{33}}{9},\cos\gamma=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{12}}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}},
\sin(\alpha+\gamma)=\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma=\frac{\sqrt{33}}{9}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}+\frac{4\sqrt{3}}{9}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{6}.
Из треугольника BKM
по теореме синусов находим, что
BK=\frac{BM\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}=\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{5}{6}}=\frac{3}{5}.
Следовательно,
SK=SB=BK=3-\frac{3}{5}=\frac{12}{5}.